Разложение функции в ряд Фурье на промежутке

Рассмотрим некоторую функцию  , которая определена по крайне мере на промежутке   (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке  , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье: , где   – так называемые коэффициенты Фурье.

При этом число   называют периодом разложения, а число   –полупериодом разложения.

Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:

Действительно, распишем  его подробно: Нулевой член ряда принято записывать в виде  .

Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины:период разложения, полупериод, коэффициенты Фурье и др. Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами:

Что нужно сделать в нижеследующих заданиях?

Разложить функцию   в ряд Фурье. Дополнительно нередко требуется изобразить график функции  , график суммы ряда  , частичной суммы и в случае изощрённых профессорский фантазий – сделать что-нибудь ещё.

Как разложить функцию в ряд Фурье?

По существу, нужно найти коэффициенты Фурье  , то есть, составить и вычислить три определённых интеграла.

Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь. Я очень рад, что у некоторых посетителей сайта прямо на моих глазах осуществляется детская мечта стать космонавтом =)

Поехали:

Пример 2

Разложить функцию   в ряд Фурье на промежутке  . Построить график  , график суммы ряда   и частичной суммы  .

Решение: первая часть задания состоит в разложении функции  в ряд Фурье.

Начало стандартное, обязательно записываем, что:

В данной задаче период разложения  , полупериод  .

Разложим функцию   в  ряд Фурье на промежутке   :

Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье. Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла. Для удобства я буду нумеровать пункты:

1) Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз:

2) Используем вторую формулу:

Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям: 

При нахождении   использован метод подведения функции под знак дифференциала.

В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по частям в определённом интеграле  :

Пара технических замечаний. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки, так как перед исходным интегралом находится константа  . Не теряем её! Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. В первом «куске»   проявляем крайнюю аккуратность в подстановке, как видите, константа   не при делах, и пределы интегрирования подставляются в произведение  . Данное действие выделено квадратными скобками. Ну а интеграл   второго «куска» формулы вам хорошо знаком из тренировочного задания ;-)

И самое главное – предельная концентрация внимания!

 3) Ищем третий коэффициент Фурье: 

Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям:

Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово:

(1) Выражение    полностью заключаем в большие скобки. Не хотел показаться занудой, слишком уж часто теряют константу  .

(2) В данном случае я немедленно раскрыл эти большие скобки. Особое вниманиеуделяем первому «куску»: константа   курит в сторонке и не участвует в подстановке пределов интегрирования (  и  ) в произведение  . Ввиду загромождённости записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Со вторым «куском»   всё проще: здесь дробь   появилась после раскрытия больших скобок, а константа   – в результате интегрирования знакомого интеграла ;-)

(3) В квадратных скобках проводим преобразования  , а в правом интеграле – подстановку пределов интегрирования.

(4) Выносим «мигалку» из квадратных скобок:  , после чего раскрываем внутренние скобки: .

(5) Сокращаем 1 и –1 в скобках, проводим окончательные упрощения.

Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье:

Подставим их в формулу  :

При этом не забываем разделить   пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от «эн», вынесена за пределы суммы.

Таким образом, мы получили разложение функции   в ряд Фурье на промежутке  : 

Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Я объясню теорию, в частности теорему Дирихле, буквально «на пальцах», поэтому если вам необходимы строгие формулировки, пожалуйста, обратитесь к учебнику по математическому анализу (например, 2-ой том Бохана; или 3-ий том Фихтенгольца, но в нём труднее).

Во второй части задачи требуется изобразить график  , график суммы ряда   и график частичной суммы  .

График функции   представляет собой обычную прямую на плоскости, которая проведена чёрным пунктиром: 

Разбираемся с суммой ряда  . Как вы знаете, функциональные ряды сходятся к функциям. В нашем случае построенный ряд Фурье   при любом значении «икс» сойдётся к функции  , которая изображена красным цветом. Данная функция терпит разрывы 1-го рода в точках  , но определена и в них (красные точки на чертеже)

Таким образом:  . Легко видеть, что   заметно отличается от исходной функции  , именно поэтому в записи   ставится значок «тильда», а не знак равенства.

Изучим алгоритм, по которому удобно строить сумму ряда.

На центральном интервале   ряд Фурье сходится к самой функции  (центральный красный отрезок совпадает с чёрным пунктиром линейной функции).

Теперь немного порассуждаем о природе рассматриваемого тригонометрического разложения. В ряд Фурье   входят только периодические функции (константа, синусы и косинусы), поэтому сумма ряда   тоже представляет собой периодическую функцию.

Что это значит в нашем конкретном примере? А это обозначает то, что сумма ряда   – непременно периодична и красный отрезок интервала   обязан бесконечно повторяться слева и справа.

Думаю, сейчас окончательно прояснился смысл фразы «период разложения  ». Упрощённо говоря, через каждые   ситуация вновь и вновь повторяется.

На практике обычно достаточно изобразить три периода разложения, как это сделано на чертеже. Ну и ещё «обрубки» соседних периодов – чтобы было понятно, что график продолжается.

Особый интерес представляют точки разрыва 1-го рода. В таких точках ряд Фурье сходится к изолированным значениям, которые расположены  ровнёхонько посередине «скачка» разрыва (красные точки на чертеже). Как узнать ординату этих точек? Сначала найдём ординату «верхнего этажа»: для этого вычислим значение функции в крайней правой точке центрального периода разложения:  . Чтобы вычислить ординату «нижнего этажа» проще всего взять крайнее левое значение этого же периода:  . Ордината среднего значения – это среднее арифметическое суммы «верха и низа»:  . Приятным является тот факт, что при построении чертежа вы сразу увидите, правильно или неправильно вычислена середина.

Построим частичную сумму ряда   и заодно повторим смысл термина «сходимость». Мотив известен ещё из урока о сумме числового ряда. Распишем наше богатство подробно:

Чтобы составить частичную сумму   необходимо записать нулевой + ещё два члена ряда. То есть, 

На чертеже график функции   изображен зелёным цветом, и, как видите, он достаточно плотно «обвивает» полную сумму  . Если рассмотреть частичную сумму из пяти членов ряда  , то график этой функции будет ещё точнее приближать красные линии, если сто членов   – то «зелёный змий» фактически полностью сольётся с красными отрезками и т.д. Таким образом, ряд Фурье сходится к своей сумме  .

Интересно отметить, что любая частичная сумма   – это непрерывная функция, однако полная сумма ряда   всё же разрывна.

На практике не так уж редко требуется построить и график частичной суммы. Как это сделать? В нашем случае необходимо рассмотреть функцию   на отрезке  , вычислить её значения на концах отрезка и в промежуточных точках (чем больше точек рассмотрите – тем точнее будет график). Затем следует отметить данные точки на чертеже и аккуратно изобразить график   на периоде  , после чего «растиражировать» его на соседние промежутки. А как иначе? Ведь приближение   – это тоже периодическая функция… …чем-то мне её график напоминает ровный ритм сердца на дисплее медицинского прибора.

Выполнять построение, конечно, не сильно удобно, так как   и приходится проявлять сверхаккуратность, выдерживая точность не меньше, чем до половины миллиметра. Впрочем, читателей, которые не в ладах с черчением, обрадую – в «реальной» задаче выполнять чертёж нужно далеко не всегда, где-то в 50% случаев требуется разложить функцию в ряд Фурье и всё.

После выполнения чертежа завершаем задание:

Ответ: 

Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода прямо на периоде разложения:

Пример 3

Разложить в ряд Фурье функцию  , заданную на отрезке  . Начертить график функции и полной суммы ряда.

Предложенная функция задана кусочным образом (причём, заметьте, только на отрезке ) и терпит разрыв 1-го рода в точке  . Можно ли вычислить коэффициенты Фурье? Без проблем. И левая   и правая   части функции интегрируемы на своих промежутках, поэтому интегралы в каждой из 3-х формул следует представить в виде суммы двух интегралов. Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента: Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда.

Аналогично расписываются два других коэффициента Фурье.

Как изобразить сумму ряда? На левом интервале   чертим отрезок прямой  , а на интервале   – отрезок прямой   (жирно-жирно выделяем участок оси  ). То есть, на промежутке разложения   сумма ряда   совпадает с функцией   везде, кроме трёх «нехороших» точек. В точке разрыва функции   ряд Фурье сойдётся к изолированному значению, которое располагается ровно посередине «скачка» разрыва. Его нетрудно увидеть и устно: левосторонний предел:  , правосторонний предел:   и, очевидно, что ордината средней точки равна 0,5.

В силу периодичности суммы  , картинку необходимо «размножить» на соседние периоды, в частности изобразить то же самое на интервалах   и   . При этом, в точках    ряд Фурье сойдётся к срединным значениям.

По сути-то ничего нового здесь нет.

Постарайтесь самостоятельно справиться  с данной задачей. Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока.

Далее возникает закономерный вопрос: если схема работает на отрезке  , то почему бы её не применить к разложению функций в ряд Фурье на промежутках   или на каком-нибудь другом периоде?