Приближённое вычисление числа с помощью ряда

О «пи» исписаны километры бумаги и сказаны миллионы слов, поэтому я не буду загружать вас историей, теорией и гипотезами, если интересно (а это и на самом деле интересно), обратитесь, например, к Википедии. Данное число обладает бесконечным количеством знаков после запятой:  , и теория рядов предоставляет один из эффективных способов нахождения этих цифр:

Пример 9

Используя значение   и разложение арктангенса в ряд Маклорена вычислить приближённо число  , используя первые пять членов ряда. Оценить количество верных знаков.

Решение: запишем первые пять членов разложения в ряд арктангенса: 

В данном случае  : В результате  , откуда легко выразить приближённое значение:

Ответ:  , данный способ даёт два верных знака после запятой.

Очевидно, что чем больше членов ряда рассмотреть, тем точнее будет найдено число «пи». Кроме того, существуют значительно более быстро сходящиеся ряды, позволяющие малым количеством слагаемых получить очень высокую точность.

На сегодня найдены многие миллиарды верных цифр после запятой, в последовательности которых не обнаружено каких-либо закономерностей. Доходит до того, что всевозможные экстрасенсы и философы считают, что в данном числе зашифровано всё-всё-всё на белом свете.

А если откинуть мистику, то вычисление чисел «е», «пи» и других констант имеет важное прикладное значение, так, например, в астрономических расчётах с гигантскими числами верный 20-ый знак после запятой может играть существенную и даже принципиальную роль.

Да будут грязны потёрты клавиши вашего калькулятора =)

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: используем разложение  . а) В данном случае  : б)  , то есть  : Ответ:   с точностью до 0,001

Пример 4: Решение: для самоконтроля найдём более точное значение на калькуляторе и запишем его на черновик:  . Используем разложение  . Вычислим сумму двух первых членов ряда:  . Так как ряд является знакочередующимся, то абсолютная погрешность не превзойдёт по модулю третьего члена ряда:  Ответ:  , абсолютная погрешность вычислений – не более чем  .

Пример 6: Решение: преобразуем радикал: Используем частный случай биномиального разложения: , в данном случае   – принадлежит области сходимости ряда.  Так как каждый член ряда необходимо разделить на 4, то исходную точность можно (но в этот раз не обязательно нужно!) увеличить в 4 раза:  Ответ:   с точностью до 0,001

Пример 8: Решение: для самопроверки вычислим данное значение на калькуляторе:  . Используем разложение:  . Представим аргумент в виде обыкновенной дроби   и найдём  : Таким образом:   

Ответ:   с точностью до 0,001

Приближенное вычисление определенного интеграла с помощью разложения подынтегральной функции в ряд Маклорена

Этот небольшой урок позволит не только освоить типовую задачу, которая довольно часто встречается на практике, но и закрепить материалы статьи Разложение функций в степенные ряды. Нам потребуется таблица разложений функций в степенные ряды, которую можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, читатель должен понимать геометрический смысл определенного интеграла и обладать элементарными навыками интегрирования.

На уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры? речь шла о том, что определенный интеграл – это площадь. Но в некоторых случаях интеграл является очень трудным или неберущимся, поэтому соответствующую площадь в большинстве случаев можно вычислить только приближенно.

Например: вычислить определенный интеграл  . Такой интеграл является неберущимся, но аналитически и геометрически всё хорошо:

Мы видим, что подынтегральная функция  непрерывна на отрезке  , а значит, площадь существует, и определенный интеграл   численно равен заштрихованной площади. Беда только в том, что данную площадь можно вычислить лишь приближенно с определенной точностью. На основании вышеизложенных фактов и  появилась типовая задача курса высшей математики.

Пример 1

Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, с точностью до 0,001

Решение: Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом.

Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Эту распространенную на практике задачу мы очень подробно рассмотрели на урокеРазложение функций в степенные ряды. Кстати, рекомендую всем прочитать, поскольку некоторые вещи, о которых сейчас пойдет разговор, могут показаться малопонятными.

Используем табличное разложение: В данном случае 

Обратите внимание, как я записал ряд. Специфика рассматриваемого задания требуетзаписывать только несколько первых членов ряда. Мы не пишем общий член ряда  , он здесь ни к чему.

Чем больше членов ряда мы рассматриваем – тем лучше будет точность. Сколько слагаемых рассматривать? Из практики могу сказать, что в большинстве случаев для достижения точности 0,001 достаточно записать первые 4 члена ряда. Иногда требуется меньше. А иногда больше. Если в практическом примере их не хватило, то придётся переписывать всё заново =( Поэтому целесообразно провести предварительный черновой анализ или перестраховаться, изначально записав побольше членов (собственно, такой же совет как и для приближенного вычисления значения функции с помощью ряда).

Следует также отметить, что точность до трёх знаков после запятой самая популярная. Также в ходу и другая точность вычислений, обычно 0,01 или 0,0001.

Теперь второй этап решения: Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд:

Почему это вообще можно сделать? Данный факт пояснялся на уроке Разложение функций в степенные ряды – график бесконечного многочлена   в точности совпадает с графиком функции  ! Причем, в данном случае утверждение справедливо для любого значения «икс», а не только для отрезка интегрования  .

На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое:

Лучше это сделать сразу, чтобы на следующем шаге не путаться с лишними вычислениями.

После упрощений почленно интегрируем всю начинку:

Интегралы здесь простейшие, на этом я не останавливаюсь.

На завершающем этапе вспоминаем школьную формулу Ньютона-Лейбница  . Для тех, кто не смог устоять перед Ньютоном и Лейбницем, есть урок Определенные интегралы. Примеры решений.

Техника вычислений стандартна: сначала подставляем в каждое слагаемое 0,3, а затем ноль. Для вычислений используем калькулятор:

Заметьте, что для решения хватило первых трёх членов ряда, поскольку уже третий член   меньше требуемой точности 0,001. Данный член ряда обычно не приплюсовывают к результату, именно поэтому для окончательного расчёта выбраны только первые два числа:  .

Ответ:  , с точностью до 0,001

Что это получилось за число с геометрической точки зрения?    – это приблизительная площадь заштрихованной фигуры (см. рисунок выше).

Отметим еще один факт:   – каждый следующий член ряда по модулю (без учёта знака) меньше, чем предыдущий. Почему члены ряда неизбежно убывают по модулю? Потому-что полученное нами разложение в ряд сходится к функции  на отрезке интегрирования  .

Пример 2

Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд по степеням  , с точностью до 0,001

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Как-то незаслуженно я обошел стороной арктангенс, ни разу не разложив его в ряд. Исправим оплошность.

Пример 3

Вычислить определенный интеграл с точностью 0,01 с помощью разложения подынтегральной функции в ряд.

Решение: Есть сильное подозрение, что данный интеграл является берущимся, правда, решение не самое простое.

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Используем разложение: В данном случае  Здесь повезло, что в итоге степени таки остались целыми, дробные степени было бы труднее интегрировать.

Таким образом:

Ответ:   с точностью до 0,01.

Обратите внимание на тот факт, что уже второй член ряда 0,00089 по модулю значительно меньше требуемой точности 0,01. Бывает и так. Члены с возу – кобыле легче.

Не следует забывать об области сходимости ряда. Область сходимости арктангенса в традиционном варианте:  , и наш отрезок интегрирования   полностью лежит в данной области. Кстати, в конкретном рассмотренном примере область сходимости еще меньше:  , так как под интегралом есть квадратный корень.

Что будет, если попытаться решить какой-нибудь нелегальный случай вроде  ? Функция так же прекрасно разложится в ряд, члены ряда так же замечательно проинтегрируются. Но, когда мы начнем подставлять значение верхнего предела   по формуле Ньютона-Лейбница, то увидим, что числа будут неограниченно расти, то есть каждое следующее число будет больше, чем предыдущее. Ряд-то сходится лишь на отрезке  . Это не паранойя, на практике так время от времени бывает. Причина – опечатка в сборнике задач или методичке, когда авторы недосмотрели, что отрезок интегрирования «вылазит» за интервал сходимости ряда.

Интеграл с арксинусом я рассматривать не буду, поскольку он занесен в красную книгу. Лучше дополнительно рассмотреть что-нибудь «бюджетное»:

Пример 4

Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

Это пример для самостоятельного решения.

В заключение рассмотрим еще пару примеров, которые несколько сложнее.

Пример 5

Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 с помощью разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

Решение: Анализирую подынтегральную функцию, приходим к выводу, что нужно использовать биномиальное разложение. Но сначала функцию надо представить в соответствующем виде:

К сожалению, ни один частный случай биномиального разложения не подходит, и нам придется использовать громоздкую общую формулу:

В данном случае:  , 

Разложение уже на этом этапе лучше максимально упростить. Замечаем также, что четвертый член ряда нам, очевидно, не потребуется, так как в нём еще до интегрирования появилась дробь  , которая заведомо меньше требуемой точности 0,001.

 

Не забываем, что есть еще один множитель:

Наиболее кропотливый этап пройден, вычислим интеграл:

Ответ:   с точностью до 0,001.

Нечто подобное для самостоятельного  решения:

Пример 6

Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

Рассмотренная типовая задача на самом деле довольно неприятна, так как не существует простых способов проверки результата. По невнимательности легко пропустить какое-нибудь число, степень, неточно разложить функцию в ряд, неверно проинтегрировать, допустить банальную ошибку в вычислениях. Поэтому очень важно подходить к решению таких задач с ясной головой.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: разложим подынтегральную функцию в ряд. Используем частный случай биномиального разложения:   В данном случае:  Таким образом:   Ответ:   с точностью до 0,001.

Пример 4: Решение: разложим подынтегральную функцию в ряд. Используем  разложение:     Таким образом: Ответ:   с точностью до 0,001.

Пример 6: Решение:  Используем биномиальное разложение: В данном случае:  ,  Таким образом: Ответ:   с точностью до 0,001.

Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда?

Продолжая изучать практические приложения теории рядов, рассмотрим ещё одну распространённую задачу, название которой вы видите в заголовке. И, чтобы не чувствовать себя газонокосилкой на протяжении урока, давайте сразу же разберёмся в сути задания. Три вопроса и три ответа:

Что нужно найти? Частное решение дифференциального уравнения. Намёк между строк шепчет, что к данному моменту желательно хотя бы понимать, что такоедифференциальное уравнение и что такое его решение.

КАК по условию требуется это решение? Приближённо – с помощью ряда.

И третий закономерный вопрос: зачем? Будучи сторонником конкретики, вернусь к простейшему дифференциальному уравнению  . В ходе первой лекции по диффурам мы нашли его общее решение   (множество экспонент) и частное решение  , соответствующее начальному условию  . График функции   – это самая обычная линия, которую нетрудно изобразить на чертеже.

Но то элементарный случай. На практике встречается великое множество дифференциальных уравнений, неразрешимых аналитически точно (по крайне мере, известными на сегодняшний день способами). Иными словами, как ни крути такое уравнение – проинтегрировать его не удастся. А закавыка состоит в том, что общее решение (семейство линий на плоскости) может существовать. И тогда на помощь приходят методы вычислительной математики.

Встречаем нашу радость!

Типовая задача формулируется следующим образом:

Найти приближённо частное решение   дифференциального уравнения …, удовлетворяющее начальному условию  , в виде трёх (реже – 4-х, 5-х) отличных от нуля членов ряда Тейлора.

Искомое частное решение   раскладывается в данный ряд по известной формуле:

Единственное, здесь вместо буквы «эф» используется «игрек» (так уж повелось).

Идея и смысл тоже знакомы: для некоторых диффуров и при некоторых условиях (не будем вдаваться в теорию) построенный степенной ряд будет сходиться к искомому частному решению  . То есть, чем больше членов ряда мы рассмотрим, тем точнее график соответствующего многочлена приблизит график функции  .

Следует отметить, что вышесказанное применимо и к самым простым случаям. Проведём незамысловатое детское исследование на том же горшке:

Пример 1

Найти приближённо частное решение   дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию   в виде четырёх первых отличных от нуля членов ряда Тейлора.

Решение: в условиях данной задачи  , поэтому общая формула Тейлора   трансформируется в частный случай разложения в ряд Маклорена:

Немного забегая вперёд, скажу, что в практических заданиях значительно чаще встречается именно этот, более компактный ряд.

Занесите обе рабочие формулы в свой справочник.

Разбираемся со значениями  . Этапы решения удобно занумеровать:

0) На нулевом шаге записываем значение  , которое всегда известно из условия. В тетради итоговые результаты пунктов желательно обводить в кружок, чтобы они были хорошо видны и не затерялись в решении. Мне по техническим причинам сподручнее выделять их жирным шрифтом. Кроме того, отмечаем, что данное значение не равно нулю! Ведь по условию требуется найти четыре отличных от нуля членов ряда.

1) Вычислим  . Для этого в правую часть исходного уравнения   вместо «игрека» подставляем известное значение  :

2) Вычислим  . Сначала находим вторую производную:

Подставляем в правую часть найдённое в предыдущем пункте значение  :

В распоряжении уже три ненулевых члена разложения, нужен ещё один:

3) Находим третью производную – это производная от второй производной:

Так получается, что в данном задании каждая следующая производная оказывается выраженной через предыдущую производную.

Подставляем в правую часть найденное в предыдущем пункте значение  :

Теперь подставим найденные значения в формулу Маклорена и аккуратно проведём упрощения:

Ответ: 

Условие рассматриваемого задания, как правило, не требует чертежа, но я построю демонстрационные графики, чтобы наглядно разъяснить сущность выполненных действий. Изобразим точное частное решение   и его приближение  : Как видите, уже 4 члена ряда дают недурственную точность – на довольно длинном участке зелёная дуга кубической функции практически совпала с идеальным («красным») решением, о чём нам сигнализирует коричневый цвет. При этом оба графика проходят через точку начального условия, и естественно, что вблизи неё точность будет максимальной.

Очевидно, что чем больше членов ряда мы рассмотрим, тем лучше соответствующий многочлен приблизит экспоненту.

Неудивительно, что в решении часто задействованы производные более высоких порядков. Кратко повторим материал:

четвёртая производная   – это производная от третьей производной; пятая производная   – это производная от четвёртой производной и т.д.;  – обозначения 6-ой, 7-ой, 8-ой, 9-ой и 10-й производных соответственно.

Помимо римских цифр, в широком обиходе и такой вариант:  – обязательно со скобками, чтобы не путать производную с «игреком в степени».

В собственной практике приходилось находить 10-ую производную, не случайно я так подробно воспроизвёл обозначения.

Для успешного выполнения данной задачи необходимо уметь дифференцировать неявную функцию, причём дифференцировать достаточно уверенно. И, прежде чем перейти к конкретным примерам, пожалуйста, проанализируйте, понятны ли вам следующие производные: Если не очень, то лучше проработать примеры урока о производных неявно заданных функций. Также проблема может быть в позабытых правилах дифференцирования. В частности, только что и далее будут широко применяться правило дифференцирования произведения   и правило дифференцирования сложной функции   Пожалуй, некоторая новизна лишь в производной   (вторая строка), где в качестве внешней функции выступает степень (квадрат), а в качестве вложения – производная  .

Алгоритм и технику решения начнём оттачивать с общего случая разложения в ряд Тейлора:

Пример 2

Найти приближённо частное решение   дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию   в виде трёх первых отличных от нуля членов ряда Тейлора.

Решение начинается стандартной фразой:

Разложение частного решения   дифференциального уравнения при начальном условии   имеет вид:

В данной задаче  , следовательно:

Теперь последовательно находим значения   – до тех пор, пока не будут получены три ненулевых результата. Если повезёт, то отличны от нуля будут   – это идеальный случай с минимальным количеством работы.

Нарезаем пункты решения:

0) По условию  . Вот и первый успех.

1) Вычислим  . Сначала разрешим исходное уравнение относительно первой производной, то есть, выразим  . Подставим в правую часть известные значения  :

Получена баранка и это не есть хорошо, поскольку нас интересуют ненулевые значения. Однако ноль – тоже результат, который не забываем обвести в кружок или выделить каким-нибудь другим способом.

2) Находим вторую производную   и подставляем в правую часть известные значения  :

Второй «не ноль».

3) Находим   – производную от второй производной:

Если действия не понятны, ещё раз призываю изучить статью о дифференцировании неявной функции.

Вообще, задание чем-то напоминает Сказку про Репку, когда дедка, бабка и внучка зовут на помощь жучку, кошку и т.д. И в самом деле, каждая следующая производная выражается через своих «предшественников».

Подставим в правую часть   известные значения  :

Третье ненулевое значение. Вытащили Репку.

Аккуратно и внимательно подставляем «жирные» числа в нашу формулу:

Ответ: искомое приближенное разложение частного решения: 

В рассмотренном примере попался всего один ноль на втором месте, и это не так уж плохо. В общем случае нулей может встретиться сколько угодно и где угодно. Повторюсь, их очень важно выделять наряду с ненулевыми результатами, чтобы не запутаться в подстановках на завершающем этапе.

Вот, пожалуйста – бублик на самом первом месте:

Пример 3

Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения  , соответствующее начальному условию  , в виде трёх первых отличных от нуля членов ряда Тейлора.

Примерный образец оформления задачи в конце урока. Пункты алгоритма можно и не нумеровать (оставляя, например, пустые строки между шагами), но начинающим рекомендую придерживаться строгого шаблона.

Рассматриваемая задача требует повышенного внимания – если допустить ошибку на каком-либо шаге, то всё остальное тоже будет неверным! Поэтому ваша ясная голова должна работать как часы. Увы, это не интегралы или диффуры, которые надёжно решаются и в утомлённом состоянии, поскольку позволяют выполнить эффективную проверку.

На практике заметно чаще встречается разложение в ряд Маклорена:

Пример 4

Представить приближенно частное решение   ДУ, соответствующее заданному начальному условию  , в виде суммы трех первых отличных от нуля членов степенного ряда.

Решение: в принципе, можно сразу записать разложение Маклорена, но оформление задачи академичнее начать с общего случая:

Разложение частного решения   дифференциального уравнения при начальном условии   имеет вид:

В данном случае  , следовательно:

Вперёд:

0) По условию  .

Ну что поделать…. Будем надеяться, что нулей встретится поменьше.

1) Вычислим  . Первая производная   уже готова к употреблению. Подставим значения  :

2) Найдём вторую производную:

И подставим в неё  :

Резво дело пошло!

3) Находим  . Распишу очень подробно:

Заметьте, что к производным применимы обычные алгебраические правила: приведение подобных слагаемых  на последнем шаге и запись произведения в виде степени:   (там же).

Подставим в   всё, что нажито непосильным трудом  :

Три ненулевых значения рождены.

Подставляем «жирные» числа в формулу Маклорена, получая тем самым приближенное разложение частного решения:

Ответ: 

Для самостоятельного решения:

Пример 5

Представить приближенно частное решение   ДУ, соответствующее заданному начальному условию  , в виде суммы трех первых отличных от нуля членов степенного ряда.

Примерный образец оформления в конце урока.

Как видите, задача с частным разложением в ряд Маклорена оказалась даже труднее общего случая. Сложность рассматриваемого задания, как мы только что убедились, состоит не столько в самом разложении, сколько в трудностях дифференцирования. Более того, порой, приходится находить 5-6 производных (а то и больше), что повышает риск ошибки. И в завершении урока предлагаю пару задач повышенной сложности:

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение приближённо с помощью разложения частного решения в ряд Маклорена, ограничившись тремя первыми ненулевыми членами ряда

Решение: перед нами диффур второго порядка, но это практически не меняет дела. По условию   и нам сразу же предложено воспользоваться рядом Маклорена, чем мы не преминем воспользоваться. Запишем знакомое разложение, прихватив на всякий пожарный побольше слагаемых:

Алгоритм работает точно так же:

0)   – по условию.

1)   – по условию.

2) Разрешим исходное уравнение относительно второй производной:  .

И подставим  :

Первое ненулевое значение

Щёлкаем производные и выполняем подстановки:

3) 

Подставим   и  :

4) 

Подставим  :

Второе ненулевое значение.

5)   – по ходу дела приводим подобные производные.

Подставим  :

6) 

Подставим  :

Наконец-то. Впрочем, бывает и хуже.

Таким образом, приближенное разложение искомого частного решения:

Ответ: 

Миниатюра для самостоятельного решения:

Пример 7

Найти три отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена частного решения дифференциального уравнения второго порядка   при начальных условиях  .

Я хочу, чтобы все читатели решили это задание. Ведь курс математического анализа потихоньку заканчивается…. пройдут годы, но когда-нибудь каждого из вас посетит непреодолимое желание что-нибудь продифференцировать. Поэтому не упускайте редкую возможность начать прямо сейчас =)

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: разложение частного решения   ДУ при начальном условии   имеет вид:  . В данном случае:  . В правую часть   подставим  : Найдём  Подставим  : Найдём  Подставим  : Таким образом, искомое приближенное разложение частного решения: Ответ: 

Пример 5: Решение: разложение частного решения   ДУ при начальном условии   имеет вид:  . В данном случае  , следовательно: . Разрешим исходное уравнение относительно  . Подставим  : Найдём  Подставим  : Найдём третью производную: Подставим  :  Таким образом, искомое приближенное разложение частного решения: Ответ: 

Пример 7: Решение: используем разложение Маклорена: По условию:  

В исходное уравнение   подставим  : Найдём  Подставим  : Найдём  Подставим  : Найдём    Подставим  : Найдём  Подставим  : Таким образом, приближенное разложение искомого частного решения: Ответ: