Приближенные вычисления с помощью рядов

После изучения основных понятий функциональных и степенных рядов, задачи разложения функций в ряды переходим к обширной группе приложений рассматриваемой темы. К основным заданиям, которые часто встречаются на практике, относятся следующие:

– приближённое вычисление значения функции с помощью ряда;

– приближённое вычисление определённого интеграла с помощью ряда;

– нахождение частного решения ДУ приближённо с помощью ряда.

На данном уроке мы рассмотрим первую, наиболее простую задачу, для решения которой потребуются самые элементарные знания о рядах, таблица разложений функций в степенные ряды и микрокалькулятор. Как вариант, пойдёт Эксель (если умеете управляться с его функциями). Вычислительные задачи требуют повышенной концентрации внимания, поэтому к изучению статьи рекомендую подойти в хорошей физической форме и со свежей головой:

Пример 1

Используя разложение функции в ряд, вычислить число   с точностью до 0,001

Решение: прежде всего, выбираем подходящее табличное разложение функции. Очевидно, что в нашем случае необходимо взять следующий ряд: , который сходится при любом значении «икс».

Кратко повторим, что такое сходимость степенного ряда: чем больше слагаемых мы рассмотрим, тем точнее функция-многочлен будет приближать функцию  . Действительно, график параболы   совсем не напоминает экспоненту и график кубической функции   тоже далёк от идеала, но если взять 50-100 членов ряда, то картина в корне поменяется. И, наконец, график бесконечного многочлена   совпадёт с графиком экспоненциальной функции  .

Примечание: в теории даже есть такой подход и определение: функция   – это сумма функционального ряда  .

Какое значение «икс» и сколько членов ряда следует рассмотреть? Всё дано в условии: поскольку требуется вычислить число  , то в наше разложение необходимо  подставить значение   и записывать члены ряда до тех пор, пока очередное слагаемое не станет меньше заданной точности  :

Здесь пришлось немного потрудиться – только восьмой член ряда   остановил безумие. В ходе оформления обязательно следует делать пометку карандашом о критерии завершения процесса, в данном примере: 

«Рубежное» значение   (и, понятно, все последующие, ещё мЕньшие члены) не приплюсовывается к итоговой сумме, то есть, складываем только предыдущие семь чисел:  .

Рекомендую округлять десятичные дроби в разумных пределах, не оставляя слишком длинные «хвосты». Так, если задана точность 0,001, то за глаза и за уши хватит 5-6-ти знаков после запятой. Заключительным штрихом округляем результат до требуемой точности – трёх знаков после запятой: 

Ответ:   с точностью до 0,001

Вспомним смысл выражения «с точностью до 0,001». Оно обозначает, что мы допустили погрешность не более чем в одну тысячную, т.е. на самом деле может быть и    (а если бы, условно говоря,  ряд был знакочередующимся, то, как вариант, и  ). Выполним проверку, вычислив более точное значение на микрокалькуляторе:

Всё в порядке.

Существенным обстоятельством,  является то, что рассмотренный ряд сходится на всей числовой прямой. То есть вместо   мы имеем право взять любое значение «икс», например,   и по такому же алгоритму приближённо вычислить  . Впрочем, лучше пару раз проверить самостоятельно, чем двести раз услышать =)

Пример 2

Используя разложение функции в ряд, вычислить с точностью до 0,001: а)  ; б)  .

Выгодно сразу же воспользоваться калькулятором:   чтобы заранее знать ответ и контролировать ход решения. Примерный образец оформления задания в конце урока.

Возникает вопрос: зачем заниматься такими нелепыми вещами, если есть калькуляторы, расчётные программы? Отчасти я дал ответ на уроке Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Не так уж и давно калькулятор был большой редкостью, не говоря о такой роскоши, как клавиши с надписями   и т.д. В гостевой книге сайта одна из посетительниц поделилась воспоминаниями, как все расчёты своего диплома проводила с помощью математических таблиц и логарифмической линейки. А такой инструментарий наряду с механическими счётами сегодня займут место разве что в музее истории математики.

Резюме таково – мы решаем устаревшую задачу. Насущный же практический смысл состоит в том, что её нужно решить =) Ну, может ещё по информатике будет полезно кому – приближенная сумма с наперёд заданной точностью элементарно алгоритмизируется циклом. Правда, какой-нибудь Паскаль довольно быстро сломается, поскольку факториал растёт семимильными шагами.

Кроме того, есть ещё одно очень важное и актуальное приложение, имеющее прикладное значение, но этот секрет будет раскрыт по ходу урока ;-)  Выдвигайте гипотезы, если догадаетесь – респект.

Помимо формулировки «вычислить с точностью до» встречается следующая версия задания:

Пример 3

Вычислить   приближённо, используя первые три члена соответствующего ряда. Оценить точность вычислений.

В целях самоконтроля сразу вычислим значение на калькуляторе: 

Решение: здесь заранее указано количество членов ряда. Отлично – меньше голову ломать. Используя табличное разложение  , считаем сумму первых трёх членов ряда:

Теперь вторая часть задания. Под точностью вычислений обычно понимают оценкуабсолютной разницы между суммой ряда   и частичной суммой  , в данном случае – частичной суммой трёх членов  .

Для знакочередующихся рядов справедливо следующее утверждение: абсолютная погрешность энной частичной суммы   не превосходит по модулю   члена ряда.

Оценку абсолютной погрешности часто обозначают буквой «эпсилон», и в нашем примере она будет равна модулю 4-го члена:  . То есть, найденная частичная сумма   отличается от суммы ряда   (которую мы не знаем) не более чем на  .

Кстати, довольно легко понять, почему это так: к отрицательному 4-му члену   прибавляется мЕньшее число  , затем из результата вычитается ещё более малоечисло   – и так далее до бесконечности. Образно говоря, конструкция напоминает маятник с затухающими колебаниями, где   – самый большой размах в отрицательную сторону, «затмевающий» собой все остальные движения.

Ответ:  , абсолютная погрешность вычислений не превосходит  .

Ещё раз подчёркиваю, что речь идёт об оценке погрешности. Саму абсолютную погрешность (точную сумму остатка  ) мы не знаем, да этого и не требовалось по условию.

Пример 4

Вычислить   приближённо, используя первые два члена соответствующего разложения в ряд. Оценить абсолютную погрешность вычислений.

Это пример для самостоятельного решения.

Иногда аргумент бывает выражен в градусах, в таких случаях его необходимо перевести в радианы (образец есть в статье Приближённые вычисления с помощью дифференциала).

Сформулированное правило оценки погрешности справедливо только длязнакочередующегося ряда. Если же все члены ряда положительны, то сумму «бесконечного хвоста» прикинуть трудно. Для положительных рядов есть свои, более сложные методы, поэтому на практике в таких заданиях, как правило, предлагается знакочередующийся ряд.

Важным является тот факт, что разложения синуса и косинуса сходятся при любом значении «икс» (радианы!). Именно по причине сходимости рядов каждый последующий член по модулю меньше, чем предыдущий.

Но слагаемые убывают далеко не всегда! Всегда нужно помнить об области сходимости того или иного ряда и разобранные примеры не должны усыплять бдительность. Простейшая иллюстрация – арктангенс и его разложение  . Если попытаться вычислить, скажем, значение  , то легко заметить неограниченный рост членов ряда. А всё потому, что   не входит в область сходимости   данного разложения.

Разберём более трудные задания:

Пример 5

Вычислить   с точностью до 0,01

Решение: щёлкаем по клавишам калькулятора:  .  И думаем, как выполнить приближённые вычисления с помощью ряда. В ситуациях с корнем дело сводится к биномиальному разложению   с гарантированной областью сходимости  .

Пытаемся представить наш радикал в виде  :

И всё бы было хорошо, но только значение   не входит в область сходимости биномиального ряда, то есть конструкция   не годится для вычислений – произойдёт такой же несчастный случай, как с рассмотренным выше  .

Как быть? Ещё раз смотрим на значение   и замечаем, что оно близко к «тройке». В самом деле:  . Используя замечательного соседа, проводим следующее типовое преобразование: под корнем выделяем число 27, искусственно выносим его за скобки и далее выносим из-под корня:

Вот теперь всё тип-топ: число   принадлежит интервалу сходимости  . Но в качестве «побочного эффекта» возникает необходимость поправить точность вычислений. Ведь когда мы подсчитаем члены разложения  , то будем обязаны домножить каждое число на «тройку». И по этой причине изначально требуемую точность 0,01 нужно устрожить в три раза:  .

Итак, используем ряд  , в котором  . Не забываем проверить по таблице разложений, не подпадает ли наш пример под какой-нибудь частный случай биномиального разложения. Нет. А, значит, придётся работать ручками:

Тут для достижения необходимой точности хватило трёх слагаемых, и четвёртый член ряда   считать не было смысла. Но «про запас» всегда стараемся расписать побольше членов ряда. Если поленитесь и не хватит слагаемых – будете заново переписывать всё задание.

Ответ:   с точностью до 0,001

Да, вычисления, конечно, не подарочные, но что поделать….

Более простая вариация на ту же тему для самостоятельного решения:

Пример 6

Вычислить   с точностью до 0,001

Образец оформления задачи в конце урока. И не забываем вновь обратиться к  вычислительной технике:  .

Что студент с нетерпением ждёт изо дня в день? Логарифмы:

Пример 7

Вычислить   с точностью до 0,001

Решение: сначала, как всегда, узнаем ответ:  .

Очевидно, что нужно использовать следующее табличное разложение:

В данном случае  , и значение   войдёт в область сходимости   данного ряда.

Считаем:

Стоп. Что-то здесь не так. Сойтись-то ряд сойдётся, но такими темпами вычисления могут затянуться до скончания века. Я проверил – требуемой точности мы достигнем лишь на 13-ом слагаемом. Это ещё, кстати, сносно и даже решабельно, а что делать, если предложено вычислить   или того похлеще  . Там уже счёт пойдёт на сотни и тысячи слагаемых!

Таким образом, ряд   сходится очень медленно и пригоден для вычислений разве что   и других логарифмов, аргумент которых достаточно близок к единице.

В целях значительного ускорения процесса несложно вывести следующее разложение:  с областью сходимости 

Приятная вещь также состоит в том, что всякое положительное число   (кроме единицы) можно представить в виде  . Преобразуем аргумент логарифма в обыкновенную дробь:  , составляем и решаем уравнение:

Проверка: 

Таким образом: 

Ответ:   с точностью до 0,001

Заметьте, что более точное значение, вычисленное ранее на калькуляторе – чуть больше:  , но, как отмечалось выше, погрешность в пределах одной тысячной вполне допустима.

Пример 8

Вычислить   с точностью до 0,001

Это пример для самостоятельного решения. Следует отметить, что здесь разложение   уже не годится в принципе, поскольку  , а значение   не входит  в область сходимости данного ряда. Образец решения и ответ в конце урока.

Статья начиналась с приближённого вычисления числа «е», и закончим мы её другой знаменитой константой: