Примеры разложения функций в ряд Тейлора по степеням , когда

Данное задание является более сложным и встречается значительно реже, но всё-таки 2-3 примера не помешают. Пригодится.

Вытащим из чулана общую формулу Тейлора:

Еще раз повторю, что вместо буквы «а» на практике часто можно встретить букву  .

В чём сложность разложения функции по степеням   при ненулевом значении «а»? Сложность состоит в том, что нам не удастся воспользоваться табличными разложениями, и придётся самостоятельно находить производные. Очень хорошо если вы проработали урок Производные высших порядков, впрочем, я постараюсь максимально подробно закомментировать оставшиеся задачи.

И сразу небольшой Пример 8

Разложить функцию   в ряд Тейлора по степеням 

В данном случае  , смотрим на формулу Тейлора, и становится уже всё понятнее. Теперь предстоит ручная работа по конструированию разложения:

, все производные, начиная с четвёртой производной, будут нулевыми.

Теперь подставляем весь найденный скарб в формулу Тейлора:

Готово. Для проверки можно раскрыть скобки: Получен исходный многочлен, что и требовалось проверить.

Рассмотрим более содержательные примеры.

Пример 9

Разложить функцию   в ряд Тейлора по степеням  . Найти область сходимости полученного ряда.

Решение: Используем  разложение функции в ряд Тейлора по степеням 

Хех, опять предстоит ручная работа….

В данном случае: 

Замечаем, что с такими раскладами производные можно находить до бесконечности. Поэтому необходимо уловить некоторую закономерность. Найдем ещё третью производную:

А теперь проанализируем найденные производные:

,  ,  .

Закономерность прослеживается: знаки чередуются, в числителе накручиваетсяфакториал, а в знаменателе  растёт степень.

Теперь, исходя из выявленной закономерности, нужно составить производную «энного» порядка. В данном случае она выглядит так: Как проверить, правильно ли составлена энная производная? Подставьте в неё значения  ,  ,   и вас должны получиться в точности первая, вторая и третья производные. После того, как мы убедились в том, что энная производная составлена правильно, подставляем в неё наше значение: 

Теперь осталось все труды подставить в формулу Тейлора и аккуратно провести упрощения:

Далее необходимо найти область сходимости полученного степенного ряда  . Это стандартная задача, которую мы многократно прорешивали на уроке Степенные ряды. Область сходимости ряда. Я сразу приведу ответ, поскольку умею решать почти все ряды устно =)

Область сходимости полученного степенного ряда: 

И заключительный пример для самостоятельного решения:

Пример 10

Разложить функцию   в ряд Тейлора по степеням  . Найти область сходимости полученного ряда.

Если честно, то от рядов уже в глазах мельтешит, не злоупотребляйте!  Пожалуйста, сообщите, если где заметили опечатку или ошибку.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Используем разложение:  . Данный ряд сходится при любом значении  .  В данном случае  Область сходимости ряда:  .

Пример 4: Используем разложение:   .  Область сходимости ряда:  . В данном случае  Конструируем функцию дальше: Окончательно: Поскольку разложение экспоненты сходится при любом «альфа», то область сходимости полученного ряда: 

Пример 5: Используем частный случай биномиального разложения: В данном случае  Таким образом:

Само по себе разложение не слишком сложное, важно правильно найти область полученного сходимости ряда. Есть длинный путь и короткий.

Путь короткий: из таблицы находим комментарий к биномиальному разложению: «Область сходимости ряда:  . Сходимость ряда в точках  ,   исследуется отдельно». В данном случае  , то есть, ряд точно сходится при:  . Делим все части на 3 и извлекаем из всех частей кубический корень:  – интервал сходимости ряда. Подставляем концы интервала в полученный ряд  . Если  , то: При  Оба числовых ряда расходятся, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Окончательно. Область сходимости полученного ряда: 

Путь длинный (но более надежный и универсальный) состоит в исследовании полученного ряда   с помощью признака Даламбера по стандартной схеме, рассмотренной на уроке Степенные ряды. Область сходимости ряда.

Пример 7: Преобразуем функцию:  Используем разложение: В данном случае  Таким образом: Или короче, в свёрнутом виде:  Найдем область сходимости полученного степенного ряда. По таблице находим, что использованное разложение сходится при  . В данном случае  , поэтому:  – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала: При   – расходится При   – сходится условно. Таким образом, область сходимости полученного степенного ряда: 

Пример 10: Решение: Используем  разложение функции в ряд Тейлора по степеням  : В данном случае:    …   … Таким образом: Область сходимости полученного степенного ряда уже надоела. Ответ:   ряд сходится при  .