Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
Приступим к увлекательному занятию – разложению различных функций в степенные ряды. Сначала пара формул, затем практические задания.
Если
функция
в
некотором интервале раскладывается в
степенной ряд по степеням 
,
то это разложение единственно и задается
формулой:
Примечания:
надстрочный индекс 
в
последнем слагаемом обозначает производную
«энного» порядка.
Вместо буквы «а» в литературе часто
можно встретить букву 
.
Данная формула носит фамилию англичанина Тейлора (ударение на первый слог).
На
практике процентах в 95-ти приходится
иметь дело с частным случаем формулы
Тейлора, когда 
:
Этот ряд получил известность благодаря шотландцу Маклорену (ударение на второй слог). Разложение Маклорена также называют разложением Тейлора по степеням .
Вернемся
к таблице разложений элементарных
функций и выведем разложение
экспоненциальной функции:
Как
оно получилось? По формуле
Маклорена:
Рассмотрим
функцию 
,
тогда:
Теперь
начинаем находить производные
в точке ноль:
первую производную, вторую производную,
третью производную и т.д. Это просто,
поскольку при дифференцировании
экспонента превращается в саму
себя:
И
так далее….
Совершенно
очевидно, что 
Подставляем единицы в формулу Маклорена и получаем наше табличное разложение!
Аналогично можно вывести некоторые другие табличные разложения (но далеко не все выводятся именно так).
Примеры разложения функций в ряд Маклорена
В данном параграфе мы рассмотрим типовую задачу на разложение функции в ряд Маклорена и определении области сходимости полученного ряда. Нет, мучаться с нахождением производных не придется, мы будем пользоваться таблицей.
Пример 1
Разложить функцию в ряд Маклорена. Найти область сходимости полученного ряда.
! Эквивалентная формулировка: Разложить функцию в ряд по степеням
Решение незамысловато, главное, быть внимательным и не пропустить какую-нибудь степень, индекс.
Конструируем наш ряд. Плясать начинают, как правило, от функции, в данном случае – от косинуса. Используем элементарное разложение:
.
Область
сходимости ряда: 
В
данном случае 
В
числителях раскрываем скобки:
Теперь
умножаем обе части на «икс»:
В
итоге искомое разложение функции в
ряд:
Как
определить область сходимости? Разложение
косинуса сходится при ЛЮБОМ значении
«альфа»:
,
а значит и при
.
Домножение 
на
«икс» не играет никакой роли в плане
сходимости. Поэтому область сходимости
полученного ряда:
Пример 2
Разложить
функцию в ряд по степеням
.
Найти область сходимости ряда.
Это пример для самостоятельного решения.
Я
не стал рассматривать простейшие
разложения вроде 
, 
или 
,
поскольку это фактически задача в одно
действие. В нужные табличные разложения
вместо «альфы» необходимо подставить
, 
, 
и
немного причесать полученные
ряды. Единственное
предостережение – не теряйте по
невнимательности степени и знаки.
А сейчас для разнообразия рассмотрим что-нибудь с минусами.
Пример 3
Разложить
функцию в ряд по степеням
.
Найти область сходимости ряда.
В
таблице находим похожее разложение:
Область
сходимости ряда: 
,
концы интервала нужно исследовать
дополнительно.
Трюк
прост: перепишем функцию немного
по-другому:
Таким
образом, 
и:
Окончательно:
Теперь
нужно определить область сходимости.
Смотрим на табличное неравенство
.
У нас тут минус и «икс» в квадрате:
,
не факт, что область сходимости полученного
ряда будет именно такая.
В сомнительных случаях надежнее всего
подробно проанализировать полученный
степенной ряд.
В данном случае функция разложилась в
ряд 
.
Используя штатный признак Даламбера
(урок Степенные
ряды. Область сходимости ряда),
легко найти интервал сходимости ряда:
.
Будет ли сходиться ряд на концах
интервала? Если подставить значения
,
,
то в обоих случаях получится расходящийся
гармонический ряд 
(знак
«минус» перед рядом никак не влияет на
сходимость или расходимость).
Таким образом, область сходимости полученного ряда:
Интересно
отметить, что простейшее разложение из
учебника 
сходится
ещё в одной точке, и область сходимости
соответствующего ряда: 
.
А разложение в ряд такого логарифма: 
–
сходится на обоих концах интервала:
Таким образом, когда вам дан для разложения любой логарифм, следует быть предельно аккуратным и внимательным.
Пара примеров для самостоятельного решения:
Пример 4
Разложить
функцию в ряд по степеням
.
Найти область сходимости ряда.
Пляска традиционно начинается от «главной» функции, то есть, начинать нужно с экспоненты.
Пример 5
Разложить
функцию в ряд по степеням
.
Найти область сходимости ряда.
Здесь разложение не такое трудное, но могут возникнуть трудности с нахождением области сходимости полученного ряда.
Полные решения и ответы в конце урока.
Не
редкость, когда перед разложением
функции в ряд её необходимо предварительно
преобразовать. Канонический случай –
это разложение функции 
.
Перед тем как ее раскладывать в ряд,
необходимо понизить степень с помощью
известной тригонометрической формулы: 
.
Решать я этот пример не буду, поскольку
он довольно простой, к тому же что-то
подобное мы недавно рассмотрели.
Пример 6
Разложить
функцию в ряд по степеням
.
Найти область сходимости ряда.
Смотрим
в таблицу и находим наиболее похожее
разложение:
Во-первых,
вверху нужно получить единицу, поэтому
представляем функцию в виде
произведения: 
Теперь
нам нужно в знаменателе устроить 
,
для этого выносим двойку за скобки:
И
сокращаем на два:
В
данном случае 
,
таким образом:
В
итоге искомое разложение:
Определим
область сходимости ряда. Можно пойти
длинным и надежным путем, используя
признак Даламбера для полученного
степенного ряда 
,
т.е. найти интервал сходимости ряда и
исследовать сходимость ряда на концах
найденного интервала.
А
можно поступить проще. Из таблицы
известно, что биномиальный ряд стопудово
сходится при
.
В данном случае
,
поэтому:
Умножаем
все части неравенства на 
:
–
интервал сходимости полученного
ряда.
Что происходит с рядом
на
концах интервала?
При 
При 
Оба
числовых ряда расходятся, т.к. не
выполнен необходимый
признак сходимости ряда.
Таким образом, область сходимости полученного ряда:
Пример 7
Разложить
функцию в ряд по степеням
.
Найти область сходимости ряда.
Указание:
предварительно функцию следует упростить,
используя свойства логарифмов: 
Это пример для самостоятельного решения.
Разложение функций в ряд Маклорена необходимо проводить в ряде других задач, например, в задаче приближенного вычисления определенного интеграла. Кстати, там, помимо нового материала, можно посмотреть примеры других разложений, которые не поместились в этот урок.