Интегральный признак Коши

Разочарую тех, кто плохо усвоил материал первого курса. Для того чтобы применять интегральный признак Коши необходимо более или менее уверенно уметь находить производные, интегралы, а также иметь навык вычисления несобственного интегралапервого рода.

В учебниках по математическому анализу интегральный признак Коши дан математически строго, но слишком уж поморочено, поэтому я сформулирую признак совсем примитивно, но понятно. И сразу примеры для пояснения.

Интегральный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд  . Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Пример 11

Исследовать ряд на сходимость 

Почти классика. Натуральный логарифм и какая-нибудь бяка.

Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда есть некоторая функция и её производная. Из темыПроизводная вы наверняка запомнили простейшую табличную вещь:  , и у нас как раз такой канонический случай.

Как использовать интегральный признак? Сначала берем значок интеграла и переписываем со «счётчика» ряда верхний и нижний пределы:  . Затем под интегралом переписываем «начинку» ряда с буковкой «хэ»:  . Чего-то не хватает…, ах, да, еще в числителе нужно прилепить значок дифференциала:  .

Теперь нужно вычислить несобственный интеграл  . При этом возможно два случая:

1) Если выяснится, что интеграл   сходится, то будет сходиться и наш ряд  .

2) Если выяснится, что интеграл    расходится, то наш ряд   тоже будет расходиться.

Повторюсь, если материал запущен, то чтение параграфа будет трудным и малопонятным, поскольку применение признака по сути дела сводится к вычислениюнесобственного интеграла первого рода.

Полное решение и оформление примера должно выглядеть примерно так:

Используем интегральный признак:

Подынтегральная функция непрерывна на 

Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Пример 12

Исследовать ряд на сходимость 

Решение и образец оформления в конце урока

В рассмотренных примерах логарифм также мог находиться под корнем, это не изменило бы способа решения.

И еще два примера на закуску

Пример 13

Исследовать ряд на сходимость 

По общим «параметрам» общий член ряда вроде бы подходит для использования предельного признака сравнения. Нужно всего лишь раскрыть скобки   и сразу сдать на кандидата предельно сравнить данный ряд со сходящимся рядом  . Впрочем, я немного слукавил, скобки можно и не раскрывать, но всё равно решение через предельный признак сравнения будет выглядеть довольно вычурно.

Поэтому мы используем интегральный признак Коши:

Подынтегральная функция непрерывна на 

Получено конечное число, значит, исследуемый ряд  сходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

! Примечание: полученное число   –  не является суммой ряда!!!

Пример 14

Исследовать ряд на сходимость 

Решение и образец оформления в конце урока, который подходит к концу.

Да. Возможно, у некоторых возник вопрос, почему я начал этот урок с таким энтузиазмом? Всё просто – начался учебный год, а мне не нужно на учебу!!! Я столько мучался =( Что даже не устал в заключительных аккордах этой статьи.

В целях окончательного и бесповоротного усвоения темы числовых рядов посетите урокЗнакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Примеры решений.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Используем признак Даламбера: Таким образом, исследуемый ряд расходится. Примечание: Можно было использовать и «турбо»-метод решения: сразу обвести карандашом отношение  , указать, что оно стремится к единице и сделать пометку: «одного порядка роста».

Пример 5: Используем признак Даламбера: Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Пример 8: Используем радикальный признак Коши. Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Пример 10: Используем радикальный признак Коши. Таким образом, исследуемый ряд расходится. Примечание: Здесь основание степени  , поэтому 

Пример 12: Используем интегральный признак.   Подынтегральная функция непрерывна на  . Получено конечное число, значит, исследуемый ряд  сходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Пример 14:  Используем интегральный признак.   Подынтегральная функция непрерывна на  . Таким образом, исследуемый ряд  расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом. Примечание: Ряд   также можно исследовать с помощью предельного признака сравнения. Для этого необходимо раскрыть скобки под корнем    и сравнить исследуемый ряд с расходящимся рядом  .

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Примеры решений

Для того чтобы понять примеры данного урока необходимо хорошо ориентироваться в положительных числовых рядах: понимать, что такое ряд, знать необходимый признак сходимости ряда, уметь применять признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши. Тему можно поднять практически с нуля, последовательно изучив статьи Ряды для чайников и Признак Даламбера. Признаки Коши. Логически этот урок является третьим по счёту, и он позволит не только разобраться в знакочередующихся рядах, но и закрепить уже пройденный материал! Какой-то новизны будет немного, и освоить знакочередующиеся ряды не составит большого труда. Всё просто и доступно.

Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд   и распишем его подробнее:

А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности. Знакочередование обеспечивает множитель  : если   чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус» (как вы помните ещё с урока о числовых последовательностях, эта штуковина называется «мигалкой»). Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн».

В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель  , но и его родные братья:  ,  ,  , …. Например:

Подводным камнем являются «обманки»:  ,  ,   и т.п. – такие множителине обеспечивают смену знака. Совершенно понятно, что при любом натуральном  :  ,  ,  . Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решенияфункциональных рядов.

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии. Опасно для мозга.

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.

Или в два пункта:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю:  . Причём, убывают монотонно.

Если выполнены оба условия, то ряд сходится.

Краткая справка о модуле приведена в методичке Горячие формулы школьного курса математики, но для удобства ещё раз:

Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду  . Мысленно сотрём ластиком все знаки ипосмотрим на числа. Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше, чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначают одно и то же:

– Члены ряда без учёта знака убывают. – Члены ряда убывают по модулю. – Члены ряда убывают по абсолютной величине. – Модуль общего члена ряда стремится к нулю: 

Конец справки

Теперь немного поговорим про монотонность. Монотонность – это скучное постоянство.

Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю МЕНЬШЕ, чем предыдущий:  . Для ряда   выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:   А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий:  .

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего:  . Рассмотрим ряд с факториалом:   Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего:  .

В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). При этом члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю, но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.

Не нужно пугаться того, что я нагородил, практические примеры всё расставят по своим местам:

Пример 1

Исследовать ряд на сходимость 

В общий член ряда входит множитель  , а значит, нужно использовать признак Лейбница

1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно    и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».

2) Убывают ли члены ряда по модулю? Необходимо решить предел  , который чаще всего является очень простым.

 – члены ряда не убывают по модулю. К слову, отпала надобность в рассуждениях о монотонности убывания.

Вывод: ряд расходится.

Как разобраться, чему равно  ? Очень просто. Как известно, модуль уничтожает минусы, поэтому для того, чтобы составить  , нужно просто убрать с крыши проблесковый маячок. В данном случае общий член ряда  . Тупо убираем «мигалку»:  .

Пример 2

Исследовать ряд на сходимость 

Используем признак Лейбница:

1)  Ряд является знакочередующимся.

2)   – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий:   , таким образом, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Всё бы было очень просто – но это еще не конец решения!

Если ряд сходится по признаку Лейбница, то также говорят, что ряд сходится условно.

Если сходится и ряд, составленный из модулей:  , то говорят, что ряд сходится абсолютно.

Поэтому на повестке дня второй этап решения типового задания – исследование знакочередующегося ряда на абсолютную сходимость.

Не виноватый я – такая уж теория числовых рядов =)

Исследуем наш ряд на абсолютную сходимость. Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:   – расходится (гармонический ряд).

Таким образом, наш ряд не является абсолютно сходящимся. Исследуемый ряд    сходится только условно.

Заметьте, что в Примере №1 не нужно проводить исследование на абсолютную сходимость, поскольку еще на первом шаге сделан вывод о том, что ряд расходится.

Собираем ведёрки, лопатки, машинки и выходим из песочницы, чтобы смотреть на мир широко открытыми глазами из кабины моего экскаватора:

Пример 3

Исследовать ряд на сходимость 

Используем признак Лейбница:

1)  Данный ряд является знакочередующимся.

2)   – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий:  , значит, убывание монотонно.

Вывод: Ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Анализируя начинку ряда, приходим к выводу, что здесь нужно использовать предельный признак сравнения. Скобки в знаменателе удобнее раскрыть:

Сравним данный ряд со сходящимся рядом  . Используем предельный признак сравнения.

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд   сходится вместе с рядом  .

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Готово.

Пример 4

Исследовать ряд на сходимость 

Пример 5

Исследовать ряд на сходимость 

Это примеры для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления в конце урока.

Как видите, знакочередующиеся ряды – это просто и занудно! Но не спешите закрывать страницу, всего через пару экранов мы рассмотрим случай, который многих ставит в тупик. А пока еще пара примеров для тренировки и повторения.

Пример 6

Исследовать ряд на сходимость 

Используем признак Лейбница.  1) Ряд является знакочередующимся. 2)    Члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Обратите внимание, что я не расписал подробно члены ряда. Их всегда желательно расписывать, но от непреодолимой лени в «тяжелых» случаях можно ограничиться фразой «Ряд является знакочередующимся». Кстати, не нужно относиться к этому пункту формально, всегда проверяем (хотя бы мысленно) что ряд действительно знакочередуется. Беглый взгляд подводит, и ошибка допускается «на автомате». Помните об «обманках»  ,  ,  , если они есть, то от них нужно избавиться, получив «обычный» ряд с положительными членами.

Вторая тонкость касается фразы про монотонность, её я тоже максимально сократил. Так делать можно, и почти всегда вашу задачу зачтут. Скажу совсем нехорошую вещь – лично я часто вообще умалчиваю о монотонности, и такой номер проходит. Но будьте готовы всё расписать детально, вплоть до подробных цепочек неравенств (см. пример в начале урока). Кроме того, иногда монотонность бывает нестрогой, и за этим тоже нужно следить, чтобы заменить слово «меньше» на слово «не больше».

Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Очевидно, что нужно использовать радикальный признак Коши:

Таким образом, ряд   сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Пример 7

Исследовать ряд на сходимость 

Это пример для самостоятельного решения. Хммм… что-то я немного погорячился на счет простоты.

Нередко встречаются знакочередующиеся ряды, которые вызывают затруднения.

Пример 8

Исследовать ряд на сходимость 

Используем признак Лейбница: 1) Ряд является знакочередующимся.

2)   

Дело в том, что не существует стандартных обыденных приемов для решения подобных пределов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? Здесь важно, ЧТО на бесконечности растёт быстрее – числитель или знаменатель.

Примечание: понятие порядка роста функции подробно освещено в статье Методы решения пределов. У нас пределы последовательностей, но это не меняет сути.

Если числитель   при   растёт быстрее факториала, то  . Если, на бесконечности факториал растёт быстрее числителя, то он, наоборот – «утянет» предел на ноль:  . А может быть этот предел равен какому-нибудь отличному  от нуля числу?

Попробуем записать несколько первых членов ряда:

Создается стойкое впечатление, что  , но где гарантия, что при очень больших «эн» факториал не «обгонит» числитель и не утащит предел на ноль?

Обратимся к теории математического анализа, для того она и существует:

Справка

– Факториал растёт быстрее, чем любая показательная последовательность, иными словами:   или  . Да хоть миллион в степени «эн», это не меняет дела. То есть, факториал более высокого порядка роста, чем любая показательная последовательность.

– Факториал растёт быстрее, чем любая степенная последовательность или многочлен, иными словами:   или  . Вместо   можно подставить какой-нибудь многочлен тысячной степени, это опять же не изменит ситуацию – рано или поздно факториал всё равно «перегонит» и такой страшный многочлен. Факториал более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность.

– Факториал растёт быстрее, чем произведение любого количества показательных и степенных последовательностей (наш случай).

– Любая показательная последовательность растёт быстрее, чем любая степенная последовательность, например:  ,  . Показательная последовательность более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность. Аналогично факториалу, показательная последовательность «перетягивает» произведение любого количества любых степенных последовательностей или многочленов:  .

– А есть ли что-нибудь «круче» факториала? Есть! Степенно-показательная последовательность («эн» в степени «эн») растёт быстрее факториала. На практике встречается редко, но информация лишней не будет.

Конец справки

Таким образом, второй пункт исследования (вы еще об этом помните? =)) можно записать так: 2)  , так как   более высокого порядка роста, чем  . Члены ряда убывают по модулю, начиная с некоторого номера  , при этом, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, таким образом, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Вот здесь как раз тот любопытный случай, когда члены ряда сначала растут по модулю, из-за чего у нас сложилось ошибочное первоначальное мнение о пределе. Но, начиная с некоторого номера «эн», факториал обгоняет числитель, и «хвост» ряда становится монотонно убывающим, что является принципиально важным для выполнения условия теоремы Лейбница. Чему конкретно равно данное «эн», выяснить достаточно трудно.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

А тут уже работает старый добрый признак Даламбера:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, ряд   сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Разобранный пример можно решить другим способом.

Теорема: Если ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно.

Наверное, вы уже заметили, что обратное неверно: если ряд сходится условно, то это еще не значит, что он сходится абсолютно.

Пример 8 «на бис» вторым способом.

Исследовать ряд на сходимость 

Решение: Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Используем признак Даламбера: … только что печатал … Таким образом, ряд   сходится. По соответствующей теореме из абсолютной сходимости ряда следует и условная сходимость ряда.

Вывод: Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Правда, при втором способе решения есть риск, что преподаватель оценит хитро…смекалку студента и забракует задание. А может и не забракует.

И напоследок пара примеров для самостоятельного решения. Один из той же оперы (перечитайте справку), но попроще. Другой для гурманов – на закрепление интегрального признака сходимости. 

Пример 9

Исследовать ряд на сходимость 

Пример 10

Исследовать ряд на сходимость 

После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам, которые не менее монотонны и однообразны интересны.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 4: Используем признак Лейбница:

1)  Данный ряд является знакочередующимся. 2)    Члены ряда не убывают по модулю. Вывод: Ряд расходится. Примечание: В данном примере неопределенность   устраняется стандартным способом: делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени. Старшая степень числителя: 1, старшая степень знаменателя: 

Пример 5: Используем признак Лейбница.  1)  Ряд является знакочередующимся. 2)   – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий:  , значит, убывание монотонно. Ряд сходится по признаку Лейбница. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом  . Используем предельный признак сравнения:  – конечное число, отличное от нуля,  значит, ряд   расходится вместе с гармоническим рядом. Исследуемый ряд сходится только условно.

Пример 7: Используем признак Лейбница.  1)  Ряд является знакочередующимся. 2)   – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно. Ряд сходится по признаку Лейбница. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Используем признак Даламбера: Таким образом, ряд  сходится. Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Примечание: Возможно, не всем понятно, как разложены факториалы. Это всегда можно установить опытным путём, возьмём и сравним  какие-нибудь соседние члены ряда:   и  , следующий член ряда к предыдущему:     и  , следующий член ряда к предыдущему:   …

Пример 9: Используем признак Лейбница.  1)  Ряд является знакочередующимся. 2)  – так как   более высокого порядка роста, чем  Члены ряда убывают по модулю, начиная с некоторого номера  , при этом, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, таким образом, убывание монотонно. Вывод: Ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Используем признак Даламбера: Таким образом, ряд   – сходится. Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Пример 10: Используем признак Лейбница.  1)  Ряд является знакочередующимся. 2)   – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно. Ряд сходится по признаку Лейбница. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Используем интегральный признак.   Подынтегральная функция непрерывна на  . Таким образом, ряд   расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Исследуемый ряд сходится только условно.

Числовые ряды повышенной сложности

Битый час мучаетесь со сходимостью числового ряда? Упорно не работают признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши?  В такой ситуации неоднократно оказывается практически каждый студент…  сложная производная, сложный интеграл, сложная задача по геометрии и вот теперь очередь дошла до неприступного числового ряда. Причём, злись не злись, психуй не психуй, а покорить его надо.

Насколько часто такие ряды попадаются на практике? По моей субъективной оценке, их объём составляет где-то 10-15% от общего количества задач типовой работы по теме (если у вас заметно больше – Ряды для чайников). Таким образом, вероятность приятной встречи очень велика, и данная статья как раз рассчитана на тех читателей, которые уже достаточно уверенно умеют исследовать сходимость числового ряда   стандартными методами, но зашли в тупик с очередным примером.

В чём состоит трудность и где может быть загвоздка? Отложим в сторону намыленную верёвку, спокойно проанализируем причины и ознакомимся с практическими  приёмами решения.

Первое, и самое главное: в подавляющем большинстве случаев для исследования сходимости ряда необходимо применить какой-нибудь знакомый способ, но общий член ряда   набит настолько хитрой начинкой, что совершенно не очевидно, что с ней делать. И вы ходите по кругу: не срабатывает первый признак, не годится второй, не получается третьим, четвёртым, пятым методом, потом черновики отбрасываются в сторону и всё начинается заново. Обычно это связано с недостатком опыта или пробелами в других разделах математического анализа. В частности, если запущены пределы последовательностей и поверхностно разобраны пределы функций, то придётся туго.

Иными словами, человек просто не видит нужный приём решения в силу недостатка знаний или опыта.

Бывает виновато и «затмение», когда, например, элементарно не выполнен необходимый признак сходимости ряда, но по незнанию, невнимательности либо небрежности это выпадает из поля зрения. И получается как в той байке, где профессор математики решил детскую задачку с помощью диких рекуррентных последовательностей и числовых рядов =)

В лучших традициях сразу живые примеры: ряды   и их родственники – расходятся, так как в теории доказаны пределы последовательностей  . Скорее всего, в первом семестре из вас вытрясут душу за доказательство на 1-2-3 страницы, но сейчас вполне достаточно показать невыполнение необходимого условия сходимости ряда, сославшись на известные факты. Известные? Если студент не знает, что корень энной степени – штука чрезвычайно мощная, то, скажем, ряды   поставят его в тупик. Хотя решение, как дважды два:  , т.е. по понятной причине оба ряда расходятся. Скромного комментария «данные пределы доказаны в теории» (или даже вовсе его отсутствия) вполне хватит для зачёта, всё-таки выкладки достаточно тяжёлые и относятся они точно не к разделу числовых рядов.

А изучив ближайшие примеры, вы будете только удивляться краткости и прозрачности многих решений:

Пример 1

Исследовать сходимость ряда

Решение: прежде всего, проверяем необходимый признак сходимости ряда. Это не формальность, а отличный шанс расправиться с примером «малой кровью».

Числовая последовательность   более высокого порядка роста, чем  , поэтому  , то есть необходимый признак сходимости выполнен, и ряд может, как сходиться, так и расходиться. Ну что же, попытка – не пытка. Следует отметить, что для чайников тот же предел   вовсе не очевиден, поэтому по ходу дела я ненавязчиво расставляю ссылки ;-)

Таким образом, нужно использовать какой-либо признак. Но какой? Предельный признак сравнения явно не подходит, поскольку в общий член ряда затесался логарифм, признаки Даламбера и Коши тоже не приводят к результату. Если бы у нас был  , то худо-бедно можно было бы вывернуться через интегральный признак.

«Осмотр места происшествия» наводит на мысль о расходящемся ряде    (случай обобщенного гармонического ряда), но опять же возникает вопрос, как учесть логарифм в числителе?

Остаётся самый первый признак сравнения, основанный на неравенствах, который часто не принимается во внимание и пылится на дальней полке. Распишем ряд подробнее:

Напоминаю, что   – неограниченно растущая числовая последовательность: И, начиная с номера  , будет выполнено неравенство  : то есть, члены ряда   будут ещё больше соответствующих членов расходящегосяряда  .

В итоге, ряду   ничего не остаётся, как тоже расходиться.

Здесь я невзначай использовал простое утверждение математического анализа: сходимость или расходимость числового ряда зависит от его «бесконечного хвоста» (остатка). В нашем случае мы можем не принимать во внимание тот факт, что неравенство    неверно для первых двух номеров – это не оказывает влияния на сделанный вывод.

Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:

“ Сравним данный ряд с расходящимся рядом  . Для всех номеров, начиная с  , выполнено неравенство  , следовательно, по признаку сравнения исследуемый ряд расходится. “

Три строчки. Всё!

Естественно, такому лаконичному оформлению предшествует мысленный анализ либо разбор полётов на черновике. Само собой не возбраняется расписать решение и подробно, но почти всегда идёт «на ура» и короткая версия.

Пример 2

Исследовать сходимость ряда

Это пример для самостоятельного решения. Подумайте, подберите ряд для сравнения, распишите ряды. Вот вам и истинный математический анализ =) Примерный образец оформления в конце урока.

С увлечением рассматриваем в бинокль других дикобразов:

Пример 3

Исследовать сходимость ряда

Решение: константа-множитель общего члена не влияет на сходимость или расходимость ряда, поэтому выносим её за пределы суммы:

Напрашивается сравнение с рядом  , и предчувствие не обманывает. Всего-то лишь немного проанализировать чудо в перьях:

Последовательность   – ограничена:

Следовательно, для любых натуральных номеров справедливо следующее неравенство:

А дробь с бОльшим знаменателем будет меньше дроби с мЕньшим знаменателем:  – для всех «эн» (кто не врубился во фразу – условный пример:  ).

То есть, члены ряда   ещё меньше соответствующих членов сходящегосяряда  , и нашему ряду тоже ничего не остаётся, как сходиться.

Вывод: по признаку сравнения исследуемый ряд сходится.

Если что-то показалось мутным или не очень понятным, рекомендую расписать члены обоих рядов (на худой конец приблизительно вычислить их на калькуляторе), сравнить между собой и снова перечитать выкладки.

Второй способ решения: в данном примере годится и предельный признак сравнения. Сравним исследуемый ряд со сходящимся рядом  :

 

Обратите внимание, что с выносом «пятёрки» тут можно не возиться и отношение общих членов выгоднее составить именно так, а не наоборот:  . На завершающем этапе использована теорема: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность – есть бесконечно малая последовательность (см. уроко числовых последовательностях). В нашем случае последовательность   – бесконечно малА, а   – ограничена, следовательно,  .

Вывод: в пределе получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый рядсходится вместе с рядом  .

Но предельный признак сравнения работает далеко не всегда. Пара коротких заданий для самостоятельного решения:

Пример 4

Исследовать сходимость ряда

Многие читатели уже видят, с чем нужно сравнивать, и что ряд явно расходится. Здесь не пригоден признак сравнения с неравенствами, поскольку   принимает как положительные, так и отрицательные значения, а значит, условие   справедливо далеко не всегда.

Пример 5

Исследовать сходимость ряда

Здесь же ситуация обратная – не работает предельный признак сравнения.

Примерные образцы оформления задач в конце урока.

Не редкость, когда приходится проводить двухходовое (а то и трёхходовое) рассуждение:

Пример 6

Исследовать сходимость ряда

Решение: сначала аккуратно разбираемся с тарабарщиной числителя. Последовательность   – ограничена:  . Тогда:

Сравним наш ряд с рядом  . В силу только что полученного двойного неравенства, для всех «эн» будет выполнено:

Теперь сравним ряд   с расходящимся гармоническим рядом  .

Знаменатель дроби   меньше знаменателя дроби    , поэтому сама дробь   – больше дроби   (распишите несколько первых членов, если не понятно).  Таким образом, для  любого «эн»:

А значит, по признаку сравнения ряд   расходится вместе с гармоническим рядом.

Если немного видоизменить знаменатель:  , то первая часть рассуждений будет аналогична:  . Но вот для доказательства расходимости ряда   уже применим только предельный признак сравнения, так как неравенство   неверно.

Ситуация со сходящимися рядами «зеркальна», то есть, например, для ряда   можно использовать оба признака сравнения (неравенство   справедливо), а для ряда   – только предельный признак (неравенство   неверно).

Продолжаем наше сафари по дикой природе, где на горизонте замаячило стадо грациозных и сочных антилоп:

Пример 7

Исследовать сходимость ряда

Решение: необходимый признак сходимости выполняется, и мы снова задаёмся классическим вопросом: что делать? Перед нами нечто напоминающее сходящийся ряд  , однако, чёткого правила тут нет – такие ассоциации зачастую обманчивы.

Зачастую, да не в этот раз. С помощью предельного признака сравнения сравним наш ряд со сходящимся рядом  . В ходе вычисления предела используем замечательный предел  , где в качестве бесконечно малой величины выступает  :

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом  .

Вместо применения стандартного искусственного приёма домножения и деления на «тройку», можно было изначально провести сравнение со сходящимся рядом  .  Но здесь желательна оговорка, что константа-множитель общего члена не влияет на сходимость ряда. И как раз в таком стиле оформлено решение следующего примера:

Пример 8

Исследовать сходимость ряда

Образец в конце урока.

Где замечательные пределы, там неподалёку и замечательные эквивалентности:

Пример 9

Исследовать сходимость ряда

Решение: в предыдущих примерах мы пользовались ограниченностью синуса, но сейчас это свойство оказывается вне игры. Знаменатель дроби, более высокого порядка роста, чем числитель, поэтому при   аргумент синуса и весь общий член бесконечно малЫ. Необходимое условие сходимости, как понимаете, выполнено, что не позволяет нам отлынивать от работы.

Проведём разведку: в соответствии с замечательной эквивалентностью  , мысленно отбросим синус и получим ряд  . Ну а уж такое-то….

Оформляем решение:

Сравним исследуемый ряд с расходящимся рядом  . Используем предельный признак сравнения:

Заменим бесконечно малую эквивалентной:   при  .

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом.

Готово.

Пример 10

Исследовать сходимость ряда

Это пример для самостоятельного решения.

Для планирования дальнейших действий в подобных примерах здОрово помогает мысленное отбрасывание синуса, арксинуса, тангенса, арктангенса. Но помните, такая возможность существует лишь при бесконечно малом аргументе, не так давно мне попался провокационный ряд:

Пример 11

Исследовать сходимость ряда .

Решение: здесь бесполезно использовать ограниченность арктангенса, и эквивалентность   тоже не работает. Выход неожиданно прост: Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Вторая причина «затыка на задании» состоит в приличной навороченности общего члена  , что вызывает затруднения уже технического характера. Грубо говоря, если рассмотренные выше ряды относятся к разряду «фиг догадаешься», то эти – к категории «хрен решишь». Собственно, это и называют сложностью в «обычном» понимании. Далеко не каждый правильно разрулит несколько факториалов, степеней, корней и прочих обитателей саванны. Больше всего проблем доставляют, конечно же, факториалы:

Пример 12

Исследовать сходимость ряда

Решение: очевидно, что нужно использовать признак Даламбера. Но ошибку проще простого допустить при разложении факториалов. Что такое факториал и как его расписать, подробно разобрано в статьях Пределы числовых последовательностей иПризнак Даламбера, признаки Коши.

Как возвести факториал в степень? Легко. По правилу действий со степенями, необходимо возвести в степень каждый множитель произведения:

И, конечно же, внимание и ещё раз внимание, сам-то по себе признак Даламбера работает традиционно:

Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Напоминаю рациональную методику устранения неопределённости  : когда понятенпорядок роста числителя и знаменателя – совсем не обязательно мучаться и раскрывать скобки.

Пример 13

Исследовать сходимость ряда

Зверь очень редкий, но встречается, и было бы несправедливым обойти его объективом камеры.

Что такое факториал с двойным восклицательным знаком? Факториал   «накручивает» произведение положительных чётных чисел:

Аналогично, факториал   «накручивает» произведение положительных нечётных чисел:

Проанализируйте, в чём состоит отличие от   и 

Пример 14

Исследовать сходимость ряда

А в этом задании постарайтесь не запутаться со степенями, замечательными эквивалентностями и замечательными пределами.

Образцы решений и ответы в конце урока.

Но студент достаётся на корм не только тиграм – свою добычу выслеживают и хитрые леопарды:

Пример 15

Исследовать сходимость ряда

Решение: практически мгновенно отпадают необходимый признак сходимости, предельный признак, признаки Даламбера и Коши. Но хуже всего, что бессилен неоднократно выручавший нас признак с неравенствами. Действительно, сравнение с расходящимся рядом   невозможно, так как неравенство   неверно – множитель-логарифм только увеличивает знаменатель, уменьшая саму дробь   по отношению к дроби  . И другой глобальный вопрос: а почему мы вообще изначально уверены, что наш ряд   непременно обязан расходиться и его нужно сравнивать с каким-либо расходящимся рядом? Вдруг он вообще сходится?

Интегральный признак? Несобственный интеграл    навевает траурное настроение. Вот если бы у нас был ряд  … тогда да. Стоп! Так и рождаются идеи. Оформляем решение в два шага:

1) Сначала исследуем сходимость ряда  . Используем интегральный признак:

Подынтегральная функция непрерывна на 

Таким образом, ряд   расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

2) Сравним наш ряд с расходящимся рядом  . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом  .

И в таком решении нет ничего необычного или творческого – так и надо решать!

Предлагаю самостоятельно оформить следующую двухходовку:

Пример 16

Исследовать сходимость ряда

Студент с некоторым опытом в большинстве случаев сразу видит, сходится ряд или расходится, но, бывает, что хищник ловко маскируется в кустах:

Пример 17

Исследовать сходимость ряда

Решение: на первый взгляд вообще не понятно, как ведёт себя этот ряд. А если перед нами туман, то логично начать с черновой проверки необходимого условия сходимости ряда. В целях устранения неопределённости используем непотопляемый метод умножения и деления на сопряженное выражение:

Необходимый признак сходимости не сработал, но вывел на чистую воду нашего тамбовского товарища. В результате выполненных преобразований получен эквивалентный ряд  , который в свою очередь сильно напоминает сходящийся ряд  .

Записываем чистовое решение:

Сравним данный ряд со сходящимся рядом  . Используем предельный признак сравнения:

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом  .

Возможно, у некоторых возник вопрос, откуда на нашем африканском сафари появились волки? Не знаю. Завезли, наверное. Следующую трофейную шкуру добывать вам:

Пример 18

Исследовать сходимость ряда

Примерный образец решения в конце урока

И, наконец, ещё одна мысль, которая в отчаянии посещает многих студентов: а не использовать ли более редкий признак сходимости ряда? Признак Раабе, признак Абеля, признак Гаусса, признак Дирихле и прочие неведомые зверушки. Идея рабочая, но в реальных примерах осуществляется очень редко. Лично я за все годы практики лишь 2-3 раза прибегнул к признаку Раабе, когда действительно ничего не помогло из стандартного арсенала. Полностью воспроизвожу ход своего экстремального квеста:

Пример 19

Исследовать сходимость ряда

Решение: Безо всяких сомнений признак Даламбера. В ходе вычислений активно использую свойства степеней, а также второй замечательный предел:

Вот тебе и раз. Признак Даламбера не дал ответа, хотя ничего не предвещало такого исхода.

Пошерстив справочник, я нашёл доказанный в теории малоизвестный предел   и применил более сильный радикальный признак Коши:

Вот тебе и два. И, главное, совершенно не понятно, сходится ряд   или расходится (крайне редкая для меня ситуация). Необходимый признак сравнения? Без особых надежд – даже если немыслимым образом разберусь с порядком роста числителя и знаменателя, то это ещё не гарантирует вознаграждения.

Полный даламбер, но самое скверное, что ряд нужно решить. Нужно. Ведь это будет первый случай, когда я сдамся. И тут мне вспомнилось, что вроде существуют ещё какие-то более сильные признаки. Передо мной был уже не волк, не леопард и не тигр. Это был огромный слон, размахивающий большим хоботом. Пришлось взять в руки гранатомёт:

Признак Раабе

Рассмотрим положительный числовой ряд  .  Если существует предел  , то: а) При   ряд расходится. Причём полученное значение   может быть нулевым или отрицательным б) При   ряд сходится. В частности, ряд сходится при  . в) При   признак Раабе не даёт ответа.

Составляем предел и бережно-аккуратно упрощаем дробь: Да, картина, мягко говоря, неприятная, но я уже не удивился. Подобные пределы раскалываются с помощью правила Лопиталя, и первая мысль, как потом выяснилась, оказалось правильной. Но сначала я где-то час я крутил-вертел предел «обычными» методами, однако неопределённость   не желала устраняться. А ходьба по кругу, как подсказывает опыт – типичный признак того, что выбран неверный способ решения.

Пришлось обратиться к русской народной мудрости: «Если ничего не помогает, прочитайте инструкцию». И когда я открыл 2-ой том Фихтенгольца, то к великой радости обнаружил исследование идентичного ряда  . И дальше пошло решение по образцу:

Поскольку числовая последовательность считается частным случаем функции, то в пределе   проведём замену:  . Если  , то  .

В результате:

Теперь у меня предел функции и применимо правило Лопиталя. В процессе дифференцирования придётся брать производную степенно-показательной функции, которую технически удобно найти отдельно от основного решения:  

ТерпИте, раз уж сюда забрались – Бармалей в начале статьи предупреждал =) =)

Дважды использую правило Лопиталя:

Таким образом, исследуемый ряд расходится.

Потрачена уйма времени, но мои ворота устояли!

Ради интереса я вычислил 142 члена ряда в Экселе (на бОльшее не хватило вычислительной мощности) и похоже (но строго теоретически не гарантировано!), что для данного ряда не выполнен даже необходимый признак сходимости. Посмотреть эпический результат можно здесь >>> После таких злоключений не удержался от соблазна этим же любительским способом проверить и предел  .

Спустя несколько лет история получила неожиданное продолжение, когда один из посетителей сайта предложил короткое и изящное решение данного примера, цитата:

«Сегодня добрались глаза и руки до вашего урока «Числовые ряды повышенной сложности», пример 19, где обсуждалось применение признака Раабе. Бессонные ночи нацедили немножечко вдохновения, и вот к какому простому способу практически моментально сделать этот пример я пришёл — формула Стирлинга.

И действительно, если воспользоваться эквивалентностью для факториала, то необходимый признак сходимости числового ряда сразу же говорит о том, что смысла дальше «марать» (простите мне мой французский) бумагу не имеет смысла. Выкладку привожу в виде картиночки: »

К сожалению, автор не представился =( Дополнительно поясняю, что здесь на первой шаге проведена замена   на эквивалентную бесконечно большую последовательность   (формула Стирлинга). Ну что же, ещё раз подтвердилось моё утверждение о практической бесполезности «навороченных» признаков сравнения. Большое спасибо!

Пользуйтесь на здоровье – формула Стирлинга достаточно известна, и решение «легально»!

А это ваш слонёнок:

Пример 20

Исследовать сходимость ряда

Если вы хорошо прониклись идеями данного урока, то справитесь с этим примером!

Наше путешествие завершилось на яркой ноте, и, надеюсь, у всех оставило незабываемое впечатление. Желающие продолжения банкета могут пройти на страницу Готовые задачи по высшей математике и закачать архив с дополнительными заданиями по теме.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: сравним данный ряд со сходящимся рядом  . Для всех натуральных номеров справедливо неравенство  , а значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом  .

Пример 4: Решение: сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Используем предельный признак сравнения: (произведение бесконечно малой   на ограниченную   – есть бесконечно малая последовательность) Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходитсявместе с гармоническим рядом.

Пример 5: Решение: вынесем множитель-константу общего члена за пределы суммы, от него не зависит сходимость или расходимость ряда:

Сравним данный ряд со сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией  . Последовательность   – ограничена:  , поэтому для всех натуральных номеров выполнено неравенство  . А, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом  .

Пример 8: Решение: сравним данный ряд с расходящимся рядом   (константа-множитель общего члена не влияет на сходимость или расходимость ряда). Используем предельный признак сравнения и замечательный предел  : Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходитсявместе с рядом  .

Пример 13: Решение: используем признак Даламбера: Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Пример 14: Решение: используем признак Даламбера: Заменим бесконечно малые эквивалентными:   при  . Используем второй замечательный предел:  . Следовательно, исследуемый ряд расходится.

Пример 16: Решение:  1) Исследуем сходимость ряда  . Используем интегральный признак: Подынтегральная функция непрерывна на  Получено конечное число, значит, ряд   сходится. 2) Сравним исследуемый ряд со сходящимся рядом  . Для всех номеров выполнено неравенство  , следовательно, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится.

Пример 18: Решение: сравним данный ряд с расходящимся рядом  . Используем предельный признак сравнения: Умножим и разделим на сопряженное выражение: Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходитсявместе с рядом  .

Пример 20: Решение: проверим необходимое условие сходимости ряда. В ходе вычислений типовым приёмом организуем 2-ой замечательный предел: Таким образом, исследуемый ряд расходится.

Функциональные ряды: