Что такое сумма ряда?

Строгое определение сходимости/расходимости и суммы ряда в теории даётся через так называемые частичные суммы ряда. Частичные – значит неполные. Распишем частичные суммы числового ряда  : И особую роль играет частичная сумма «эн» членов ряда:

Если предел частичных сумм числового ряда   равен конечному числу:  , то такой ряд называют сходящимся, а само число   – суммой ряда. Если же предел   бесконечен либо его не существует, то ряд называют расходящимся.

Вернёмся к демонстрационному ряду   и распишем его частичные суммы:

Предел частичных сумм   – есть в точности бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна:  . Похожий предел мы рассматривали на уроке о числовых последовательностях. Собственно, и сама формула   – это прямое следствие вышеизложенных теоретических выкладок (см. 2-ой том матана).

Таким образом, прорисовывается общий алгоритм решения нашей задачи: необходимо составить энную частичную сумму ряда   и найти предел  .  Посмотрим, как это осуществляется на практике:

Пример 3

Вычислить сумму ряда

Решение: на первом шаге нужно разложить общий член ряда в сумму дробей. Используемметод неопределённых коэффициентов:

В результате:

Сразу же полезно провести обратное действие, выполнив тем самым проверку: Получен общий член ряда в исходном виде, следовательно, разложение в сумму дробей проведено успешно.

Теперь составим частичную сумму ряда  . Вообще это делается устно, но один раз я максимально подробно распишу, что откуда взялось:

Как записать   совершенно понятно, но чему равен предыдущий член  ? В общий член ряда   ВМЕСТО «эн» подставляем  :

Почти все слагаемые частичной суммы благополучно сокращаются: Прямо такие пометки и делаем карандашом в тетради. Чертовски удобно.

Осталось вычислить элементарный предел и узнать сумму ряда:

Ответ: 

Аналогичный ряд для самостоятельного решения:

Пример 4

Вычислить сумму ряда

Примерный образец чистового оформления решения в конце урока.

Очевидно, что нахождение суммы ряда – это само по себе доказательство его сходимости (помимо признаков сравнения, Даламбера, Коши и др.), о чём, в частности, намекает формулировка следующего задания:

Пример 5

Найти сумму ряда или установить его расходимость

По внешнему виду общего члена можно сразу сказать, как ведёт себя этот товарищ. Без комплексов. С помощью предельного признака сравнения легко выяснить (причём даже устно), что данный ряд будет сходиться вместе с рядом  . Но перед нами редкий случай, когда без особых хлопот рассчитывается ещё и сумма.

Решение: разложим знаменатель дроби в произведение. Для этого нужно решитьквадратное уравнение:

Таким образом:

Множители лучше расположить в порядке возрастания:  .

Выполним промежуточную проверку:   ОК

Таким образом, общий член ряда:

Методом неопределённых коэффициентов разложим его в сумму дробей:

Коэффициенты получились целые и это радует:

На всякий случай выполним ещё одну промежуточную проверку: ОК

Поэтапные проверки – королевы зачётов ;-)

Составим энную частичную сумму и сократим всё, что можно сократить:

Как видите, в этот раз противоположные числа не расположены рядышком. Поэтому на практике всегда лучше перестраховаться и записать побольше членов ряда – чтобы наверняка понять, какие слагаемые сократятся, а какие – нет. По той же причине крайне желательно выполнять пометки карандашом.

Опыт показывает, что чаще всего студенты испытывают затруднения с хвостом суммы. В этой связи ещё раз повторим принцип, по которому записаны члены  . Отчего ж не повторить?

В общий член ряда  : – ВМЕСТО «эн» подставляем  :   ; – ВМЕСТО «эн» подставляем  :   ; – ВМЕСТО «эн» подставляем  :   .

На завершающем этапе находим сумму ряда:

Ответ: 

Изящный ряд для самостоятельного решения:

Пример 6

Найти сумму ряда или установить его расходимость

Решение и ответ в конце урока.

Вероятно, на этом рубеже у многих посетителей возникла уверенность в своих навыках и желание раствориться на просторах Интернета. Рекомендую немного задержаться, поскольку ниже по течению среди, казалось бы, такого однообразия приветливо моргают глазами большие крокодилы.  Усложняем задание и набиваем руку:

Пример 7

Вычислить сумму ряда 

Решение: со знаменателем тут никаких проблем: Множители, как я уже отмечал, целесообразно расположить в порядке возрастания.

Используем метод неопределённых коэффициентов: Здесь на последних шагах проведено почленное сложение двух уравнений системы.

Таким образом: 

Не ленимся: Что и требовалось проверить.

Запишем частичную сумму «эн» членов ряда, при этом обращаем внимание на тот факт, что «счётчик» ряда «начинает работать» с номера  . Как и в предыдущих примерах, надёжнее растянуть кобру на приличную длину:

Однако если мы запишем   в одну-две строчки, то всё равно будет довольно трудно сориентироваться в сокращениях слагаемых (их таки 3 в каждом члене). И здесь нам на помощь придёт… геометрия. Заставим плясать змею под свою дудочку:

Да, прямо так и пишем в тетради один член под другим и прямо так их вычёркиваем. Кстати, собственное изобретение. Как понимаете, не от самого лёгкого задания в этой жизни =)

В результате всех сокращений получаем:

И, наконец, сумма ряда:

Ответ: 

Готово.

Пример 8

Вычислить сумму ряда 

Это пример для самостоятельного решения.

Рассматриваемая задача, конечно, не радует нас разнообразием – на практике встречается либо бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, либо ряд с дробно-рациональным общим членом и разложимым многочленом в знаменателе (к слову, далеко не каждый такой многочлен даёт возможность найти сумму ряда). Но, тем не менее, иногда попадаются необычные экземпляры, и по сложившейся доброй традиции я завершаю урок какой-нибудь любопытной задачей:

Пример 9

Вычислить сумму ряда, если она существует 

Решение: формулировка уже интригует. Интересен тот факт, что все члены данного ряда отрицательны. Почему? На интервале   логарифм меньше нуля, а за счёт аргумента   при любом натуральном «эн» (начиная с  ) мы каждый раз и попадаем в этот интервал.

Таким образом, если ряд сходится, то будет отрицательна и его сумма. Только вот есть мааааленькая проблемка – найти это значение, если оно существует =)

Алгоритм такой же, главное, догадаться, с какой стороны подступиться к решению. Предыдущий опыт подсказывает, что нужно попытаться представить общий член ряда в виде суммы двух или бОльшего количества слагаемых. Из этих соображений преобразуем выражение в скобках и используем свойства логарифма:

Ну что же, выглядит вполне перспективно, давайте разберёмся с частичной суммой ряда:

В целях устранения неопределённости вновь используем свойство логарифма:

Получено конечное число, а значит, ряд сходится. Как и ожидалось, сумма получилась отрицательной.

Ответ: 

Поздравляю со знаменательным событием! Коль скоро вы читаете эти строки, то сегодня на вашу долю выпал редкий и счастливый случай – когда в частичной сумме   ряда удалось массово сократить слагаемые. Удалось же? =)

Не каждый день бывает!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:  Дважды используем формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  . Для первого ряда:  , для второго ряда:  . Ответ: сумма ряда 

Пример 4: Решение: Методом неопределенных коэффициентов разложим общий член ряда в сумму дробей: Таким образом: Найдём частичную сумму ряда: Вычислим сумму ряда:  Ответ: 

Пример 6: Решение: разложим знаменатель общего члена в произведение и методом неопределённых коэффициентов получим сумму дробей: Таким образом:  Составим частичную сумму и проведём сокращения: Вычислим сумму ряда: Ответ: 

Пример 8: Решение: представим общий член ряда в виде: Методом неопределённых коэффициентов разложим его в сумму дробей: Таким образом:  Запишем частичную сумму: Вычислим сумму ряда: Ответ: