Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях

В однородных уравнениях решение может потеряться в результате типовой замены и дальнейших сокращений, однако, на практике распространена и другая причина потери решений – это неосмотрительное деление. На самом деле с этим мы столкнулись в первом же примере вводного урока о дифференциальных уравнениях. В процессе решения уравнения   «игрек» оказался в знаменателе:  , но  , очевидно, является решением ДУ и в результате неравносильного преобразования (деления) есть все шансы его потерять! Другое дело, что оно вошло в общее решение   при нулевом значении константы.

Аналогичная история с уравнением   Примера 3 того же урока, в ходе решения которого мы «сбросили»   в знаменатель. Строго говоря, следовало предварительно проверить, а не является ли   решением данного диффура. Ведь является! Но и тут «всё обошлось», поскольку эта функция вошла в общий интеграл  при нулевом значении константы.

В действительности, конечно же, вовсе «не обошлось» – ситуация была под контролем, но я намеренно умолчал об этих нюансах на 1-ом уроке, чтобы не перегружать «чайников» информацией.

При неравносильных преобразованиях ВСЕГДА проверяйте (по крайне мере, устно),не теряете ли вы решения! Какие это преобразования? Чаще всего, сокращение на что-то или деление на что-то. Так, например, при делении на   нужно проверить, являются ли функции   решениями дифференциального уравнения. В то же время при  делении на   необходимость в такой проверке уже отпадает – по причине того, что этот делитель не обращается в ноль.

Перечисленные тонкости также теряют актуальность, если в задаче требуется найти только частное решение (см., например, Пример №2 первого урока).

Следующий диффур – самостоятельно:

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение

Полное решение и ответ в конце урока. Попробуйте для тренировки и здесь выразить общее решение.

В заключительной части урока рассмотрим еще пару характерных задач по теме:

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение

Решение: «любимая функция»   не является решением, что убавляет хлопот. Идём проторенной дорогой. Данное уравнение является однородным, проведем замену:

После замены проводим максимальные упрощения: 

Разделяем переменные:  

Интегрируем:

Интеграл левой части можно найти двумя способами: методом выделения полного квадрата или методом неопределенных коэффициентов. Как я уже отмечал, в диффурах удобнее использовать второй метод (если, конечно, многочлен можно разложить на множители)

Здесь многочлен на множители раскладывается: можно решить квадратное уравнение  , найти его корни и в результате:  . Опытные студенты способны выполнить подбор корней и устно.

Методом неопределенных коэффициентов получим сумму дробей:

Таким образом:

Получившийся общий интеграл упрощаем:

И только после упрощений выполняем обратную замену: 

Ответ: общий интеграл: 

Пример 8

Решить дифференциальное уравнение

Это пример для самостоятельного решения. Отмечу, что время от времени однородное уравнение встречается в виде дроби, и типичный пациент выглядит примерно так: 

Наверное, многие обратили внимание, что во всех приведенных примерах мы не находили частные решения уравнений (задача Коши). Это не случайно. В практических заданиях с однородными уравнениями частное решение требуют находить крайне редко, если честно, я даже не припомню таких случаев. Ну а если уж встретилась задача Коши в однородном уравнении, то, после изучения предыдущего урока, она не должна представлять для вас трудностей. Технология – точно такая же, как и для уравнений с разделяющимися переменными. Если уточнить, то почти всегда будут получаться не частные решения, а частные интегралы.

Существуют и более сложные однородные уравнения. Сложность состоит не в замене переменной или упрощениях, а в достаточно трудных или редких интегралах, которые возникают в результате разделения переменных. У меня есть примеры решений таких однородных уравнений – страшненькие интегралы и страшненькие ответы. Но о них не будем, иначе к большинству читателей во сне явится  известный персонаж с формулами на полосатом свитере.

И, для полноты картины, рекомендую изучить статью Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Успешного продвижения!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Проверим уравнение на однородность: Вместо   подставляем  , вместо   подставляем  : Все лямбды сократились, и получилось исходное уравнение, значит, данное ДУ является однородным. Очевидно, что   является одним из  решений данного уравнения. Проведем замену:   и максимально упростим уравнение: Разделяем переменные, слева собираем «тэ», справа – «иксы»: Интегрируем: Надо сказать, с интегралом левой части повезло, бывает гораздо хуже. Максимально упрощаем общий интеграл. Если есть дроби, то от них лучше избавиться, умножаем каждую часть на 2: Константу   я переобозначу через  : (Если этот момент не понятен, читайте статью Дифференциальные уравнения первого порядка) Собираем в правой части всё под логарифм, затем избавляемся от логарифмов Обратная замена:  Умножаем все слагаемые на  : Ответ: общий интеграл: 

Примечание: Решение   входит в общее решение (когда  ), поэтому его не нужно дополнительно указывать в ответе.

Проверка: Дифференцируем общий интеграл: Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.

Пример 4: Решение: Проверим уравнение на однородность: Таким образом, данное уравнение является однородным. Очевидно, что   является одним из  решений уравнения. Проведем замену: После подстановки проводим максимальные упрощения: Разделяем переменные и интегрируем: Новорожденный общий интеграл получен, здесь константу я не стал загонять под логарифм, в данном случае – это ни к чему. Использовать или не использовать этот прием с константой –  понимание придет с опытом.  Упрощать особо нечего, поэтому проводим обратную замену:  : Общий интеграл можно упростить: Ответ: общий интеграл:  . Ещё одно решение:  Примечание: здесь решение   не вошло в общий интеграл (т.к. не существует соответствующего значения константы), поэтому его следует указать дополнительно!

Пример 6: Решение: Преобразуем уравнение:

Очевидно, что   является решением.  Данное уравнение является однородным, проведем замену: Максимально упрощаем:   Разделяем переменные и интегрируем:   Упрощать нечего, поэтому проводим обратную замену  : Ответ: общий интеграл:  . Ещё одно решение: 

Примечание: также здесь можно выразить и общее решение:  , для этого сразу после интегрирования константу следует загнать под логарифм.

Пример 8: Решение: Данное ДУ является однородным, проведем замену:  Обратная замена: 

Ответ: общий интеграл: 

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений

На данном уроке мы рассмотрим алгоритм решения третьего типа дифференциальных уравнений, который встречается практически в любой контрольной работе – линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Для краткости их часто называют просто линейными уравнениями. Материал не представляет особых сложностей, главное, уметь уверенно интегрировать и дифференцировать.

Начнем с систематизации и повторения.

На что в первую очередь следует посмотреть, когда вам предложено для решения любое дифференциальное уравнение первого порядка? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли у данного диффура разделить переменные? Если переменные разделить можно (что, кстати, далеко не всегда очевидно), то нужно использовать алгоритмы и приемы решения, которые мы рассмотрели на первом уроке –Дифференциальные уравнения первого порядка. Советую посетить этот урок чайникам и всем читателям, которые чувствуют, что их знания и навыки в теме пока не очень хороши.

Если переменные в ДУ разделить не удалось, переходим к следующему этапу – проверяем,  а не является ли уравнение однородным? Проверку обычно выполняют мысленно или на черновике, с самим алгоритмом проверки и образцами решения однородных уравнений можно ознакомиться на втором уроке – Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Если переменные разделить не удалось, и уравнение однородным не является, то в 90% случаев перед вами как раз линейное неоднородное уравнение первого порядка.

Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид: Что мы видим? 1) В линейное уравнение входит первая производная  . 2) В линейное уравнение входит произведение  , где   – одинокая буковка «игрек» (функция), а   – выражение, зависящее только от «икс». 3) И, наконец, в линейное уравнение входит выражение  , тоже зависящее только от«икс». В частности,   может быть константой.

Примечание: Разумеется, в практических примерах эти три слагаемых не обязаны располагаться именно в таком порядке, их спокойно можно переносить из части со сменой знака.

Перед тем, как перейти к практическим задачам, рассмотрим некоторые частные  модификации линейного уравнения.

– Как уже отмечалось, выражение   может быть некоторой константой   (числом), в этом случае линейное уравнение принимает вид: 

– Выражение   тоже может быть некоторой константой  , тогда линейное уравнение принимает вид:  . В простейших случаях константа равна +1 или –1, соответственно, линейное уравнение записывается еще проще:   или  .

– Рядом с производной может находиться множитель  , зависящий только от «икс»:   – это тоже линейное уравнение.

Поехали.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение 

Решение: Данное уравнение является линейным и имеет простейший вид:  .

Как решить линейное уравнение?

Существуют два способа решения. Первый способ – это так называемый метод вариации произвольной постоянной, если вас интересует именно он, пожалуйста, перейдите по ссылке. Второй способ связан с заменой переменной и подстановкой, иногда его называют методом Бернулли. В данной статье будет рассматриваться метод подстановки, он алгоритмически прост и понятен, и решение уравнения принимает чёткий трафаретный характер. Рекомендую начинающим.

В который раз у меня хорошая новость! Линейное дифференциальное уравнение можно решить одной-единственной заменой:

, где   и   – некоторые, пока ещё неизвестные функции, зависящие от «икс».

Коль скоро проводится замена  , то нужно выяснить, чему равна производная. По правилу дифференцирования произведения:

Подставляем   и   в наше уравнение  :

В чём состоит задача? Необходимо найти неизвестные функции «у» и «вэ», которые зависят от «икс». И как раз этому будут посвящены все последующие действия.

После подстановки смотрим на два слагаемых, которые располагаются вот на этих местах: У них нужно вынести за скобки всё, что можно вынести. В данном случае:

Теперь нужно составить систему уравнений. Система составляется стандартно:

Приравниваем к нулю то, что находится в скобках:  .

Если  , тогда из нашего уравнения   получаем:   или просто  .

Уравнения записываем в систему: .

Именно в таком порядке.

Система опять же решается стандартно.

Сначала из первого уравнения находим функцию  . Это простейшее уравнение с разделяющимися переменными, поэтому его решение я приведу без комментариев.

Функция   найдена. Обратите внимание, что константу   на данном этапе мы не приписываем. 

Далее подставляем найденную функцию   во второе уравнение системы  :

Да тут ништяк, экспоненты сокращаются, и получается диффур, даже не простейший, а для студенток муз-педа.

Из второго уравнения находим функцию  . Функция   найдена. А вот здесь уже добавляем константу  .

Ха. А задача-то решена! Вспоминаем, с чего всё начиналось:  .  Обе функции найдены:   

Записываем общее решение:

В ответе можно раскрыть скобки, это дело вкуса:

Ответ: общее решение 

Проверка выполняется по той же технологии, которую мы рассматривали на уроке Дифференциальные уравнения первого порядка.

Берём полученный ответ   и находим производную:

Подставим   и   в исходное уравнение  : Получено верное равенство, таким образом, общее решение найдено правильно.

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения 

Решение: Данное уравнение имеет «классический» вид   линейного уравнения. Проведем замену:   и подставим   и   в исходное уравнение  :

После подстановки проведем вынесение множителя за скобки,  какие два слагаемых нужно мучить – смотрите предыдущий пример. Хотя, наверное, все уже поняли:

Составляем систему. Для этого приравниванием к нулю то, что находится в скобках:  , автоматически получая и второе уравнение системы:

В результате: .

Из первого уравнения найдем функцию  :  – найденную функцию    подставим во второе уравнение системы  : Теперь находим функцию  . Уравнение опять получилось простенькое:

Обе функции найдены:  Таким образом: Общее решение: 

Ответ: общее решение: 

Желающие могут выполнить проверку, для проверки в ответе лучше предварительно раскрыть скобки.

Пример 3

Найти общее решение дифференциального уравнения 

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Если у вас возникли (или возникнут) проблемы технического характера, пожалуйста, вернитесь к первому уроку Дифференциальные уравнения первого порядка.

Как видите, алгоритм решения линейного уравнения довольно прост. В чем особенность решения линейных уравнений? Особенность состоит в том, что практически всегда в ответе получается общее решение, в отличие, например, от однородных уравнений, где общее решение хорошо выражается крайне редко и ответ приходится записывать в виде общего интеграла. 

Рассмотрим что-нибудь с дробями

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию 

Напоминаю, что такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, за исключением того, что в конце прибавится один небольшой пунктик.

Обратите внимание, что уравнение представлено не совсем в стандартной форме. Этого в данном случае можно не делать, но я все-таки  рекомендую всегда переписывать уравнения в привычном виде  :

Данное ДУ является линейным, проведем замену:  Типовой вынос за скобки:

Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем  :  – подставим найденную функцию во второе уравнение системы и найдем функцию  :

Здесь интеграл взят методом подведения функции под знак дифференциала.

Обе функции найдены, таким образом, общее решение:

На заключительном этапе нужно решить задачу Коши, то есть найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию  . Как находить частное решения для диффура первого порядка, мы очень подробно рассмотрели на уроке Дифференциальные уравнения первого порядка.

В данном случае:

Ответ: частное решение: 

А вот проверку частного решения еще раз повторим. Сначала проверяем, действительно ли выполняется начальное условие  ?  – да, начальное условие выполнено.

Теперь берём полученный ответ   и находим производную. Используем правило дифференцирования частного:

Подставим   и   в исходное уравнение  : Получено верное равенство, значит, задание выполнено верно.

Пример 5

Найти решение задачи Коши , 

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Перейдем к рассмотрению «частных видов» линейных уравнений, о которых шла речь в начале урока.

Пример 6

Найти решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения , 

Решение: В данном уравнении слагаемые опять не на своих местах, поэтому сначала пытаемся максимально близко приблизить диффур к виду  :

Что здесь особенного? Во-первых, в правой части у нас константа  . Это допустимо. Во-вторых, рядом с производной есть множитель  , который зависит только от «икс». Это тоже допустимо. Из-за этих особенностей линейное уравнение не перестает быть линейным.

Алгоритм решения полностью сохраняется за исключением пары нюансов в самом начале.

Проведем замену: 

Теперь следовало бы выполнить вынесение множителя за скобки. Прозвучит каламбурно, но сначала нам нужно раскрыть скобку, поскольку одно из нужных нам слагаемых недоступно:

Вот теперь проводим вынесение множителя скобки: Обратите внимание на тот факт, что за скобки мы вынесли не только функцию  , но еще и «икс». Всё, что можно вынести за скобки – выносим.

Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем  :  – подставим во второе уравнение системы:

Таким образом, общее решение:  Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Ответ: частное решение: 

Пример 7

Найти частное решение ДУ , 

Это пример для самостоятельного решения.

Какие трудности встречаются в ходе решения линейного уравнения? Основной камень преткновения состоит в том, что может появиться довольно сложный интеграл. Как правило, неприятный интеграл появляется при нахождении функции   (в то время как с нахождением функции   обычно проблем не возникает).

Рассмотрим пару примеров с такими интегралами.

 Пример 8

Найти общее решение ДУ

Решение: Сначала приводим линейное уравнение к родному виду  : 

Уравнение кажется простым, но, как я уже отмечал, впечатление может быть обманчивым. Не редкость, когда «страшный» диффур на самом деле оказывается несложным, а «легкий» на вид диффур вызывает мучительную боль за бесцельно прожитые часы.

Проведем замену:  Составим и решим систему: .

Из первого уравнения найдем  :  – подставим найденную функцию во второе уравнение:

Такой интеграл, кстати, еще нигде не встречался в моих уроках. Он берется по частям. Вспоминаем формулу интегрирования по частям:  . Но, вот незадача, буквы   и   у нас уже заняты, и использовать те же самые буквы в формуле – не есть хорошо. Что делать? Используем ту же формулу, но с другими буквенными обозначениями. Можно выбрать любые другие буквы, я привык записывать правило с «а» и «б»:

Интегрируем по частям:

Если возникли трудности или недопонимание, освежите знания на уроках Метод замены переменной и Интегрирование по частям.

Таким образом:

Ответ: общее решение: 

Давненько я не вспоминал интегрирование по частям, даже ностальгия появилась. А поэтому еще один пример для самостоятельного решения. Какой пример? Конечно же, с логарифмом! Ну а чего еще от меня можно было ожидать? =)

Пример 9

Найти общее решение дифференциального уравнения

В предложенном примере проявлена небольшая вольность для любознательных фанатов матана. Нет, алгоритм остался точно таким же, просто я сразу начал решать диффур, не перенеся предварительно   в правую часть. Полное решение и ответ в конце урока.

В моей коллекции есть уравнения и с более трудными интегралами, но сейчас речь идет о дифференциальных уравнениях. В этой связи я намеренно не включил в урок такие задачи, все-таки интегралы изучаются в другой теме.

Надеюсь, мои примеры и объяснения были полезны, до скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, проведем замену:  Составим и решим систему: Из первого уравнения найдем  :  – подставим во второе уравнение системы: Таким образом:  Ответ: общее  решение: 

Пример 5: Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, замена:  Составим и решим систему:   .  Из первого уравнения найдем  :  – подставим во второе уравнение системы: Общее решение:  Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию: Ответ: частное решение: 

Пример 7: Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, замена:  (раскрыли только левые скобки!) Составим и решим систему:   .  Из первого уравнения найдем  :  – подставим во второе уравнение: (Примечание: здесь использовано основное логарифмическое тождество:   ). Таким образом, общее решение: Найдем частное, соответствующее заданному начальному условию: Ответ: частное решение:

Пример 9: Решение: Данное ДУ является линейным, проведем замену:  Решим систему: Из первого уравнения найдем  :    – подставим во второе уравнение: Интегрируем по частям: Таким образом:  Ответ: общее решение: