Метод характеристического уравнения (метод Эйлера)

Как уже отмечалось в начале статьи, с помощью характеристического уравнения систему дифференциальных уравнений требуют решить довольно редко, поэтому в заключительном параграфе я рассмотрю всего лишь один пример.

Пример 5

Дана линейная однородная система дифференциальных уравнений

Найти общее решение системы уравнений с помощью характеристического уравнения

Решение: Смотрим на систему уравнений и составляем определитель второго порядка: По какому принципу составлен определитель, думаю, всем видно.

Составим характеристическое уравнение, для этого из каждого числа, которое располагается на главной диагонали, вычитаем некоторый параметр  :

На чистовике, естественно, сразу следует записать характеристическое уравнение, я объясняю подробно, по шагам, чтобы было понятно, что откуда взялось.

Раскрываем определитель:

И находим корни квадратного уравнения:

Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, то общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:

Коэффициенты в показателях экспонент   нам уже известны, осталось найти коэффициенты 

1) Рассмотрим корень   и подставим его в характеристическое уравнение: (эти два определителя на чистовике тоже можно не записывать, а сразу устно составить нижеприведенную систему)

Из чисел  определителя составим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Из обоих уравнений следует одно и то же равенство:

Теперь нужно подобрать наименьшее значение  , такое, чтобы значение   было целым. Очевидно, что следует задать  . А если  , то 

2) Всё аналогично. Рассмотрим корень   и устно подставим его в характеристическое уравнение:

Из чисел  определителя составим систему:

Из обоих уравнений следует равенство:

Подбираем наименьшее значение  , таким образом, чтобы значение   было целым. Очевидно, что  .

Все четыре коэффициента   найдены, осталось их подставить в общую формулу 

Ответ: общее решение: 

Для тренировки можете с помощью характеристического уравнения решить Пример 1 (подходит только он) данного урока, тем более, есть известный ответ.

Что делать, когда корни характеристического уравнения являются кратными или сопряженными комплексными? В своей коллекции искал-искал примеры, да так и не нашел. Потом стал вспоминать, а встречались ли мне такие уравнения вообще? Да, встречалось. Один раз много лет назад.

Но что делать, если вам таки попался раритет? Порекомендую неплохую, вполне доступную книгу по диффурам: М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко Дифференциальные уравнения. Можно прямо выделить мышкой авторов, название книги и скопировать их в поисковик. Лично не закачивал (у меня есть бумажная версия книги), но весь серп забит бесплатными предложениями о закачке. В разделе про системы дифференциальных уравнений рассмотрены все случаи решения системы методом характеристического уравнения (методом Эйлера).

Учитывая крайне низкую вероятность встречи с такими уравнениями, не считаю нужным включать их в урок, при необходимости юзайте рекомендованную мной книгу.

Так же редко встречаются системы из трех дифференциальных уравнений с тремя переменными (вспомнил от силы 2-3 примера из личной практики). Поэтому они тоже здесь отсутствуют, переписывать же единичные примеры из каких-то сторонних источников, смысла вообще не вижу.

Надеюсь, ваше плавание в дифференциальных уравнениях было успешным!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Выразим из первого уравнения системы  : Дифференцируем по  : . Подставим   и   во второе уравнение системы: Характеристическое уравнение:  – кратные действительные корни, поэтому  . Дифференцируем по  : Подставим   и   в уравнение (*): Общее решение системы: Найдем частное решение, соответствующее заданным начальным условиям: Ответ: частное решение: 

Пример 4: Решение: Выразим   их второго уравнения системы:                  Дифференцируем по  : . Подставим   и   в первое уравнение: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Характеристическое уравнение:  – сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:  Очевидно, что частное решение неоднородного уравнения:  Таким образом:  . Дифференцируем по  : Подставим   и   в уравнение (*): Общее решение системы: Найдем частное решение, соответствующее заданным начальным условиям:

Ответ: частное решение: 

Числовые ряды: