Метод вариации произвольных постоянных для линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Часто приходилось слышать мнение, что метод вариации произвольных постоянных для уравнения второго порядка – штука не из легких. Но я предполагаю следующее: скорее всего, метод многим кажется трудным, поскольку встречается не так часто. А в действительности особых сложностей нет – ход решения чёткий, прозрачный, понятный. И красивый.

Для освоения метода желательно уметь решать неоднородные уравнения второго порядка способом подбора частного решения по виду правой части. Данный способ подробно рассмотрен в статье Неоднородные ДУ 2-го порядка. Вспоминаем, что линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

Метод подбора, который рассматривался на вышеупомянутом уроке, проходит лишь в ограниченном ряде случаев, когда в правой части   находятся многочлены, экспоненты, синусы, косинусы. Но что делать, когда справа, например, дробь, логарифм, тангенс? В такой ситуации на помощь как раз и приходит метод вариации постоянных.

Пример 4

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

Решение: В правой части данного уравнения находится дробь, поэтому сразу можно сказать, что метод подбора частного решения не прокатывает. Используем метод вариации произвольных постоянных.

Ничто не предвещает грозы, начало решения совершенно обычное:

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:  – получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение: 

Обратите внимание на запись общего решения   – если есть скобки, то их раскрываем.

Теперь проделываем практически тот же трюк, что и для уравнения первого порядка: варьируем константы  , заменяя их неизвестными функциями  . То есть,общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

, где   – пока ещё неизвестные функции.

Далее необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Похоже на свалку бытовых отходов, но сейчас всё рассортируем.

В качестве неизвестных выступают производные функций  . Наша цель – найти производные  , причем найденные производные должны удовлетворять и первому и второму уравнению системы.

Откуда берутся «игреки»? Их приносит аист. Смотрим на полученное ранее общее решение   и записываем:

, 

Найдем производные:

С левыми частями разобрались. Что справа?

 – это правая часть исходного уравнения, в данном случае: 

Коэффициент   – это коэффициент при второй производной:

На практике почти всегда  , и наш пример не исключение.

Всё прояснилось, теперь можно составить систему:

Систему обычно решают по формулам Крамера, используя стандартный алгоритм. Единственное отличие состоит в том, что вместо чисел у нас функции.

Найдем главный определитель системы:

Если позабылось, как раскрывается определитель «два на два», обратитесь к уроку Как вычислить определитель? Ссылка ведёт на доску позора =)

Итак:  , значит, система имеет единственное решение.

Едем дальше:

Находим производную:

Но это еще не всё, пока мы нашли только производную.  Сама функция   восстанавливается интегрированием: Здесь добавляем «нормальную» константу 

Разбираемся со второй функцией:

Здесь добавляем «нормальную» константу 

На заключительном этапе решения вспоминаем, в каком виде мы искали общее решение неоднородного уравнения? В таком:

Нужные функции только что найдены!

Осталось выполнить подстановку и записать ответ:

Ответ: общее решение: 

В принципе, в ответе можно было раскрыть скобки.

Полная проверка ответа выполняется по стандартной схеме, которая рассматривалась на уроке Неоднородные ДУ 2-го порядка. Но проверка будет непростой, поскольку предстоит находить достаточно тяжелые производные и проводить громоздкую подстановку. Это неприятная особенность, когда вы решаете подобные диффуры.

Пример 5

Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных

Это пример для самостоятельного решения. На самом деле в правой части тоже дробь. Вспоминаем тригонометрическую формулу  , её, к слову, нужно будет применить по ходу решения.

Метод вариации произвольных постоянных – наиболее универсальный метод. Им можно решить любое уравнение, которое решается методом подбора частного решения по виду правой части. Возникает вопрос, а почему бы и там не использовать метод вариации произвольных постоянных? Ответ очевиден: подбор частного решения, который рассматривался на уроке Неоднородные уравнения второго порядка, значительно ускоряет решение и сокращает запись – никакого трахча с определителями и интегралами.

Рассмотрим два примера с задачей Коши.

Пример 6

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям

, 

Решение: Опять дробь и экспонента в интересном месте. Используем метод вариации произвольных постоянных.

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:  – получены различные действительные корни, поэтому общее решение: 

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде:  , где   – пока ещё неизвестные функции.

Составим систему:

В данном случае:  ,  Находим производные: , 

Таким образом:

Систему решим по формулам Крамера: , значит, система имеет единственное решение.

Восстанавливаем функцию   интегрированием: Здесь использован метод подведения функции под знак дифференциала.

Восстанавливаем вторую функцию интегрированием:

Такой интеграл решается методом замены переменной:

Из самой замены выражаем:

Таким образом: 

Данный интеграл можно найти методом выделения полного квадрата, но в примерах с диффурами я предпочитаю раскладывать дробь методом неопределенных коэффициентов:

Обе функции найдены:

В результате, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям  .

Технически поиск решения осуществляется стандартным способом, который рассматривался в статье Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Держитесь, сейчас будем находить производную от найденного общего решения:

Вот такое вот безобразие. Упрощать его не обязательно, легче сразу составить систему уравнений. В соответствии с начальными условиями  :

Подставим найденные значения констант   в общее решение:

В ответе логарифмы можно немного запаковать.

Ответ: частное решение: 

Как видите, трудности могут возникнуть в интегралах и производных, но никак не в самом алгоритме метода вариации произвольных постоянных. Это не я вас запугал, это всё сборник Кузнецова!

Для расслабления заключительный, более простой пример для самостоятельного решения:

Пример 7

Решить задачу Коши

, 

Пример несложный, но творческий, когда составите систему, внимательно на неё посмотрите, прежде чем решать ;-)

Конец.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение:  Данное ДУ является линейным неоднородным. Используем метод вариации произвольных постоянных. Решим вспомогательное уравнение: Разделяем переменные и интегрируем: Общее решение:  В неоднородном уравнении проведем замену: Выполним подстановку: Таким образом, общее решение: Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию: Ответ: частное решение: 

Пример 5: Решение: Используем метод вариации произвольных постоянных. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:    – сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:  . Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде:  Составим систему: В данном случае: ,  ,  , Таким образом: Систему решим по формулам Крамера: , значит, система имеет единственное решение. В результате: Ответ: общее решение: 

Пример 7: Решение: Используем метод вариации произвольных постоянных. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:  – кратные действительные корни, поэтому общее решение:  . Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде:  Составим систему: В данном случае:  ,  ,  Таким образом: Кто-то будет мучиться с экспонентами, но счастье – вовремя заметить, что каждое уравнение можно сократить на  ! Систему решим по формулам Крамера: , значит, система имеет единственное решение. В результате общее решение: Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям  . Подставим найденные значения констант в общее решение: Ответ: частное решение: