Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня
Если
характеристическое уравнение
имеет
два различных действительных
корня 
, 
(т.е.,
если дискриминант 
),
то общее решение однородного уравнения
выглядит так:
,
где 
–
константы.
В
случае если один из корней равен нулю,
решение очевидным образом упрощается;
пусть, например, 
,
тогда общее решение: 
.
Пример 1
Решить
дифференциальное уравнение 
Решение: составим
и решим характеристическое уравнение:
, 
Получены
два различных действительных корня (от
греха подальше лучше сразу же выполнить
проверку, подставив корни в уравнение).
Всё,
что осталось сделать – записать ответ,
руководствуясь формулой
Ответ: общее
решение: 
Не
будет ошибкой, если записать общее
решение наоборот: 
,
но хорошим стилем считается располагать
коэффициенты по возрастанию, сначала
–2, потом 1.
Придавая константам различные значения, можно получить бесконечно много частных решений.
Теперь неплохо бы освежить базовые понятия урока Дифференциальные уравнения. Примеры решений. А что значит вообще решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит найти множество решений, которое удовлетворяет данному уравнению. Такое множество решений, напоминаю, называется общим интегралом или общим решениемдифференциального уравнения.
Таким
образом, в рассмотренном примере
найденное общее решение 
должно
удовлетворять исходному уравнению
.
Точно так же, как и диффура 1-го порядка,
в большинстве случаев легко выполнить
проверку:
Берем
наш ответ 
и
находим производную:
Находим
вторую производную:
Подставляем
, 
и 
в
левую часть уравнения 
:
Получена правая часть исходного уравнения (ноль), значит, общее решение найдено правильно (оно, как проверено, удовлетворяет уравнению ).
Пример 2
Найти
общее решение дифференциального
уравнения, выполнить проверку
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.
На самом деле проверка таких простейших примеров практически никогда не выполняется, но, дело в том, что навык и сама техника проверки очень пригодятся, когда вы будете решать более сложные неоднородные уравнения второго порядка. Поэтому было целесообразно сразу же ознакомить вас с алгоритмом.
Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня
Если
характеристическое уравнение
имеет
два кратных (совпавших)
действительных корня 
(дискриминант 
),
то общее решение однородного уравнения
принимает вид:
,
где
–
константы.
Вместо
в
формуле можно было нарисовать
,
корни всё равно одинаковы.
Если
оба корня равны нулю 
,
то общее решение опять же упрощается: 
.
Кстати, 
является
общим решением того самого примитивного
уравнения
,
о котором я упоминал в начале урока.
Почему? Составим характеристическое
уравнение: 
–
действительно, данное уравнение как
раз и имеет совпавшие нулевые корни
.
Пример 3
Решить
дифференциальное уравнение 
Решение: составим
и решим характеристическое уравнение:
Здесь
можно вычислить дискриминант, получить
ноль и найти кратные корни. Но можно
невозбранно применить известную школьную
формулу сокращенного умножения:
(конечно,
формулу нужно увидеть, это приходит с
опытом решения)
Получены
два кратных действительных корня 
Ответ: общее
решение: 
Пример 4
Найти
общее решение дифференциального
уравнения 
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Желающие могут потренироваться и выполнить проверку, но она здесь будет труднее.