Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Такое мнение и такой настрой в корне неверен, потому что на самом деле ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО. Что нужно знать и уметь, для того чтобы научиться решать дифференциальные уравнения? Для успешного изучения диффуров вы должны хорошо уметь интегрировать и дифференцировать. Чем качественнее изучены темы Производная функции одной переменной и Неопределенный интеграл, тем будет легче разобраться в дифференциальных уравнениях. Скажу больше, если у вас более или менее приличные навыки интегрирования, то тема практически освоена! Чем больше интегралов различных типов вы умеете решать – тем лучше. Почему? Придётся много интегрировать. И дифференцировать. Также настоятельно рекомендую научиться находить производную от функции, заданной неявно.

В 95% случаев в контрольных работах встречаются 3 типа дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассмотрим на этом уроке; однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения. Начинающим изучать диффуры советую ознакомиться с уроками именно в такой последовательности. Есть еще более редкие типы дифференциальных уравнений :уравнения в полных дифференциалах, уравнения Бернулли и некоторые другие. Наиболее важными из двух последних видов являются уравнения в полных дифференциалах, поскольку помимо данного ДУ я рассматриваю новый материал – частное интегрирование.

Сначала вспомним обычные уравнения. Они содержат переменные и числа. Простейший пример:  . Что значит решить обычное уравнение? Это значит, найти множество чисел, которые удовлетворяют данному уравнению. Легко заметить, что детское уравнение  имеет единственный корень:  . Для прикола сделаем проверку, подставим найденный корень в наше уравнение:  – получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Диффуры устроены примерно так же!

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит:  1) независимую переменную  ; 2) зависимую переменную   (функцию); 3) первую производную функции:  .

В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная  , и не было производных высших порядков –  ,   и т.д.

Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций часто имеет вид   (  – произвольная постоянная), который называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение 

Полный боекомплект. С чего начать решение?

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение  , которое многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным. В диффурах рулит именно оно!

Итак:

На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы   и   – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные: Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу   достаточно записать один раз (т.к. константа + константа всё равно равна другой константе). В большинстве случаев её помещают в правую часть.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде.  Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть,   – это общий интеграл.

Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение.

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.

То есть, ВМЕСТО записи   обычно пишут  .

Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем свойство логарифмов  . В данном случае:

Теперь логарифмы и модули можно с чистой совестью убрать:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Ответ: общее решение:  . 

Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. В нашем случае это делается совсем просто, берём найденное решение   и дифференцируем его:

После чего подставляем   и производную   в исходное уравнение  :  – получено верное равенство, значит, общее решение   удовлетворяет уравнению  , что и требовалось проверить.

Придавая константе   различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Ясно, что любая из функций  ,  ,   и т.д. удовлетворяет дифференциальному уравнению  .

Иногда общее решение называют семейством функций. В данном примере общее решение    – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.

После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях:

1) В этом примере нам удалось разделить переменные. Всегда ли это можно сделать?Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, в однородных уравнениях первого порядка, необходимо сначала провести замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка, нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке – простейший тип дифференциальных уравнений.

2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое не проинтегрировать,  кроме того, существуют неберущиеся  интегралы. Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов. Даламбер и Коши гарантируют... …тьфу, lurkmore.to давеча начитался, чуть не добавил «с того света».

3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла  . Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть, выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например:  . Ну и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла. Кроме того, иногда общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла

4) ...пожалуй, пока достаточно. В первом же примере нам встретился ещё один важный момент, но дабы не накрыть «чайников» лавиной новой информации, оставлю его до следующего урока.

Торопиться не будем. Еще одно простое ДУ и еще один типовой приём решения:

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию 

Решение: по условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.

Переписываем производную в нужном виде:

Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки – направо:

Интегрируем уравнение:

Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.

Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное:  . В данном случае:

Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:

Если   – это константа, то   – тоже некоторая константа, переообозначим её буквой  : Запомните «снос» константы – это второй технический приём, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений.

Итак, общее решение:  . Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию  . Это тоже просто.

В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы  , чтобы выполнялось условие  .

Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку: То есть, 

Стандартная версия оформления:

Теперь в общее решение   подставляем найденное значение константы  :  – это и есть нужное нам частное решение.

Ответ: частное решение: 

Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа:

Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное решение  удовлетворяет начальному условию  ? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится:  – да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.

Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение   и находим производную:

Подставляем   и   в исходное уравнение  :

 – получено верное равенство.

Вывод: частное решение найдено правильно.

Переходим к более содержательным примерам.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение 

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:

Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

И перекидываем множители по правилу пропорции:

Переменные разделены, интегрируем обе части:

Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы, прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас.

Интеграл левой части легко найти методом подведения функции под знак дифференциала, с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году: 

В правой части у нас получился логарифм, и, согласно моей первой технической рекомендации, константу тоже следует записать под логарифмом.

Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. С помощью известных свойств максимально «упаковываем» логарифмы. Распишу очень подробно:

Упаковка завершена, чтобы быть варварски ободранной:

Можно ли выразить «игрек»? Можно. Надо возвести в квадрат обе части.

Но делать этого не нужно.

Третий технический совет: если для получения общего решения нужно возводить в степень или извлекать корни, то в большинстве случаев следует воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Дело в том, что общее решение будет смотреться просто ужасно – с большими корнями, знаками   и прочим трэшем.

Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла. Хорошим тоном считается представить его в виде  , то есть, в правой части, по возможности, оставить только константу. Делать это не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора ;-)

Ответ: общий интеграл: 

! Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если ваш результат не совпал с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Общий интеграл тоже проверяется довольно легко, главное, уметь находить производную от функции, заданной неявно. Дифференцируем ответ:

Умножаем оба слагаемых на  :

И делим на  :

Получено в точности исходное дифференциальное уравнение  , значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию  . Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения.

Напоминаю, что алгоритм состоит из двух этапов: 1) нахождение общего решения; 2) нахождение требуемого частного решения.

Проверка тоже проводится в два шага (см. образец в Примере №2), нужно: 1) убедиться, что найденное частное решение удовлетворяет начальному условию; 2) проверить, что частное решение вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Полное решение и ответ в конце урока.

Пример 5

Найти частное решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию  . Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы   и  , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала:

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку они положительны, то знаки модуля излишни:

(Надеюсь, всем понятно преобразование  , такие вещи надо бы уже знать)

Итак, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию  .  В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Более привычное оформление: 

Подставляем найденное значение константы   в общее решение.

Ответ: частное решение: 

Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие  :  – всё гуд.

Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение   дифференциальному уравнению. Находим производную:

Смотрим на исходное уравнение:   – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной  выразить дифференциал  : Подставим найденное частное решение   и полученный дифференциал   в исходное уравнение  :  Используем основное логарифмическое тождество  : Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.

Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения   выразим производную, для этого разделим все штуки на  :

И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение   и найденную производную  . В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение  . Ответ представить в виде общего интеграла  .

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?

1) Не всегда очевидно (особенно, «чайнику»), что переменные можно разделить. Рассмотрим условный пример:  . Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки:   и отделить корни:  . Как действовать дальше – понятно.

2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла, то со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей сборников и методичек популярна логика «раз уж дифференциальное уравнение является простым, то пусть хоть интегралы будут посложнее».

3) Преобразования с константой. Как все заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно обращаться достаточно вольно, и некоторые преобразования не всегда понятны новичку. Рассмотрим ещё один условный пример:  . В нём целесообразно умножить все слагаемые на 2:  . Полученная константа  – это тоже какая-то константа, которую можно обозначить через  :  . Да, и коль скоро в правой части логарифм, то константу  целесообразно переписать в виде другой константы:  .

Беда же состоит в том, что с индексами частенько не заморачиваются и используют одну и ту же букву  . В результате запись решения принимает следующий вид:

Что за ересь? Тут же ошибки! Строго говоря – да. Однако с содержательной точки зрения – ошибок нет, ведь в результате преобразования варьируемой константы всё равно получается варьируемая константа.

Или другой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл  . Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому у каждого слагаемого целесообразно сменить знак:  . Формально здесь опять ошибка – справа следовало бы записать  . Но неформально подразумевается, что «минус цэ» – это всё равно константа (которая с тем же успехом принимает любые значения!), поэтому ставить «минус» не имеет смысла и можно использовать ту же букву  .

Я буду стараться избегать небрежного подхода, и всё-таки проставлять у констант разные индексы при их преобразовании.

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение  . Выполнить проверку.

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Интегрируем: Константу   тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.

Ответ: общий интеграл: 

Проверка: Дифференцируем ответ (неявную функцию): Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на  : Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 8

Найти частное решение ДУ. ,  

Это пример для самостоятельного решения. Единственная подсказка – здесь получится общий интеграл, и, правильнее говоря, нужно исхитриться найти не частное решение, а частный интеграл. Полное решение и ответ в конце урока.

Как уже отмечалось, в диффурах с разделяющимися переменными нередко вырисовываются не самые простые интегралы. И вот еще парочка таких примеров для самостоятельного решения. Рекомендую всем прорешать примеры №№9-10, независимо от уровня подготовки, это позволит актуализировать навыки нахождения интегралов или восполнить пробелы в знаниях.

Пример 9

Решить дифференциальное уравнение 

Пример 10

Решить дифференциальное уравнение 

Помните, что общий интеграл можно записать не единственным способом, и внешний вид ваших ответов может отличаться от внешнего вида моих ответов.  Краткий ход решения и ответы в конце урока.

Следующая рекомендуемая статья – Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Успешного продвижения!

Решения и ответы:

Пример 4: Решение: Найдем общее решение. Разделяем переменные: Интегрируем: Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

Выражаем функцию в явном виде, используя  . Общее решение: 

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию  . Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»: . Способ второй: Подставляем найденное значение константы   в общее решение. Ответ: частное решение:  Проверка: Проверяем, действительно ли выполняется начальное условие: , да, начальное условие   выполнено. Проверяем, удовлетворяет ли вообще частное решение   дифференциальному уравнению. Сначала находим производную: Подставим полученное частное решение   и найденную производную   в исходное уравнение  : Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Пример 6: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: Ответ: общий интеграл: 

Примечание: тут можно получить и общее решение: Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно, поскольку такой ответ смотрится довольно плохо.

Пример 8: Решение: Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:   Интегрируем: Общий интеграл:  Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию  . Подставляем в общее решение   и  : Ответ: Частный интеграл:  В принципе, ответ можно попричесывать и получить что-нибудь более компактное.

Пример 9: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: Левую часть интегрируем по частям:   В интеграле правой части проведем замену: Таким образом: (здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов, но она настолько простая, что подбор коэффициентов можно выполнить и устно) Обратная замена:  Ответ: общий интеграл: 

Пример 10: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: Примечание: Интеграл   можно было также найти методом выделения полного квадрата. Ответ: общее решение: 

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

На данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Наряду с уравнениями с разделяющимися переменными и линейными неоднородными уравнениями этот тип ДУ встречается практически в любой контрольной работе по теме диффуров. Если Вы зашли на страничку с поисковика или не очень уверенно ориентируетесь в дифференциальных уравнениях, то сначала настоятельно рекомендую проработать вводный урок по теме – Дифференциальные уравнения первого порядка. Дело в том, что многие принципы решения однородных уравнений и используемые технические приемы будут точно такими же, как и для простейших уравнений с разделяющимися переменными.

В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение 

Решение: Что в первую очередь следует проанализировать при решении любого дифференциального уравнения первого порядка? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью «школьных» действий? Обычно такой анализ проводят мысленно или пытаются разделить переменные на черновике.

В данном примере переменные разделить нельзя (можете попробовать поперекидывать слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки и т.д.). Кстати, в данном примере, тот факт, что переменные разделить нельзя, достаточно очевиден  ввиду наличия  множителя  .

Возникает вопрос – как же решить этот диффур?

Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:

В исходное уравнение:

вместо   подставляем  , вместо   подставляем  , производную не трогаем:

Буква лямбда – это некоторый абстрактный числовой параметр, дело не в самих лямбдах, и не в их значениях, а дело вот в чём:

Если в результате преобразований удастся сократить ВСЕ «лямбды» (т.е. получить исходное уравнение), то данное дифференциальное уравнение является однородным.

Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени: Теперь в правой части выносим лямбду за скобки:

Обе части уравнения можно сократить на эту самую лямбду: В результате все лямбды исчезли как сон, как утренний туман, и мы получили исходное уравнение.

Вывод: Данное уравнение является однородным

Поначалу рекомендую проводить рассмотренную проверку на черновике, хотя очень скоро она будет получаться и мысленно.

Как решить однородное дифференциальное уравнение?

У меня очень хорошая новость. Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью одной-единственной (!) стандартной замены.

Функцию «игрек» необходимо заменить произведением некоторой функции   (тоже зависящей от «икс») и «икса»:

Выясняем, во что превратится производная   при такой замене, используем правило дифференцирования произведения. Если  , то:

Подставляем   и   в исходное уравнение  :

Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными. Еще раз подчеркиваю, для ЛЮБОГО однородного уравнения нужно провести одну и ту же замену: строго   и, соответственно, строго  .

После подстановки проводим максимальные упрощения уравнения:

Далее алгоритм работает по накатанной колее уравнения с разделяющимися переменными.

Если   – это функция, зависящая от «икс», то  . Таким образом: Разделяем переменные, при этом в левой части нужно собрать только «тэ», а в правой части – только «иксы»: Переменные разделены, интегрируем: Согласно моему первому техническому совету из статьи Дифференциальные уравнения первого порядка константу во многих случаях целесообразно «оформить» в виде логарифма.

После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену, она тоже стандартна и единственна: Если  , то  В данном случае: 

В 19-ти случаях из 20-ти решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла.

Ответ: общий интеграл: 

Почему почти всегда ответ однородного уравнения даётся в виде общего интеграла?  В большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде (получить общее решение), а если и возможно, то чаще всего общее решение получается громоздким и ужасно корявым.

Так, например, в рассмотренном примере, общее решение получить можно:  – общее решение. Ну, еще куда ни шло. Хотя, согласитесь, все равно кривовато смотрится.

Кстати, в данном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл. Это не ошибка, но в «хорошем» стиле, напоминаю, общий интеграл принято записывать в виде  . Для этого сразу после интегрирования уравнения, константу следует записать без всякого логарифма (вот и исключение из правила!):

 

И после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде:

Полученный ответ можно проверить. Для этого нужно продифференцировать общий интеграл, то есть найти производную от функции, заданной неявно: Избавляемся от дробей, умножая каждую часть уравнения на  : Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено правильно.

Желательно всегда проводить проверку. Но однородные уравнения неприятны тем, что проверять их общие интегралы обычно трудно – для этого необходима весьма и весьма приличная техника дифференцирования. В рассмотренном примере в ходе проверки уже пришлось находить не самые простые производные (хотя сам по себе пример достаточно простой). Если сможете проверить – проверяйте!

Пример 2

Проверить уравнение на однородность и найти его общий интеграл. Выполнить проверку. 

Это пример для самостоятельного решения, мой ответ в конце урока максимально упрощен, а сам общий интеграл представлен в виде  . Напоминаю, что если у вас получится ответ в иной записи, то это еще не значит, что вы допустили ошибку.

Не правда ли простой пример? Внешний вид диффуров очень обманчив ;-) И да, в решении появилась важная тема, которую мы серьёзно разовьём к экватору урока.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение 

Решение: проверим уравнение на однородность, для этого в исходное уравнение вместо   подставим  , а вместо   подставим  :

Все лямбды сократились, и получилось исходное уравнение, значит, данное ДУ является однородным.

Проведем стандартную замену: Подставим   и   в исходное уравнение:

После подстановки результат стремимся максимально упростить:

Разделяем переменные и интегрируем:

Общий интеграл получен, теперь его нужно довести его до ума. Перед тем как выполнять обратную замену  , рекомендую снова максимально упростить полученное выражение. Об этом я уже упомянул в решении Примера №2.

Возможно, у некоторых возник вопрос, почему я иногда вдруг убираю модуль под логарифмом? Причина проста – выражение под знаком логарифма, в данном случае  , неотрицательно, а значит, модуль записывать не обязательно.

Упрощаем дальше:

Вот теперь обратная замена:  Под корнем нужно привести слагаемые к общему знаменателю и вынести из-под корня всё, что можно. Эти действия часто приходится выполнять в ходе решения однородного уравнения, запомните их:

Ответ: общий интеграл: 

Я выполнил проверку общего интеграла, но приводить её не буду, а то вы больше не придёте к такому маньяку. Попробуйте для интереса найти производную. Времяпровождение получите из разряда тех, о которых долго вспоминают. И гордятся.

Пример 4

Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение

Вот здесь проверка общего интеграла будет не очень сложной. Полное решение и ответ в конце урока.

Рассмотрим пару примеров, когда однородное уравнение задано с готовыми дифференциалами.

Пример 5

Решить дифференциальное уравнение

Решение будем привыкать оформлять компактнее. В чистовом оформлении работы не обязательно выполнять проверку на однородность. На чистовике она гораздо чаще не проводится, чем проводится. Проверка делается на черновике или мысленно, а если вы прорешали первые 4 примера, то многие из вас однородные уравнения уже узнают «в лицо».

Таким образом, почти всегда решение начинается с записи: «Данное уравнение является однородным, проведем замену: …».

Но вернемся к нашему уравнению. В нём присутствуют дифференциалы   и  . Уравнение можно решить и с дифференциалами, но алгоритм решения будет немного другой, более того, значительно увеличится риск путаницы и ошибок.

Поэтому, если однородное уравнение дано в дифференциалах, то сначала я рекомендую выразить производную  , а дальше использовать уже накатанную схему решения.

Для того чтобы выразить производную, нужно каждое слагаемое разделить на  :

Вот так-то лучше и понятнее.

Теперь коснёмся одного момента, который вы уже заметили в ходе решения 2-го и 4-го примеров. В дифференциальных уравнениях (и особенно это типично для однородных ДУ) некоторые решения «лежат на поверхности». Чаще всего, это очевидное решение  . Подставим   и и её производную   в наше уравнение (что легко сделать и устно):

Получено верное равенство, значит, функция   является решением уравнения и этот факт желательно отметить при оформлении задачи. Зачем? В ходе дальнейших преобразований существует риск потерять данное решение, то есть оно может не войти в общий интеграл, как это, например, случилось в Примере №4.

Дальше всё тривиально, проведем замену:  После подстановки максимально упрощаем уравнение:

Разделяем переменные:

Интегрируем:

Интеграл левой части стандартно решается с помощью выделения полного квадрата, но в диффурах гораздо удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов:

Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: Таким образом: 

Находим интегралы:

Перед обратной заменой в новорожденном общем интеграле опять упрощаем всё, что можно упростить:

Вот теперь обратная замена  :

Ответ: общий интеграл: 

Найденное и отмеченное ранее решение   входит в общий интеграл при нулевом значении константы (опять же легко проверяется устно), поэтому его не нужно дополнительно записывать в ответ.

Кстати редкий случай, когда общее решение однородного ДУ выражается в более или менее «приличном» виде:

Ответ: общее решение: 

Но это уже понты, после чего преподаватель с удовольствием предложит вам задание повышенной сложности, которое вы будете решать до конца семестра. Было бы хорошей шуткой, если бы не было горьким опытом.

Попробуйте выполнить проверку общего решения, здесь она не сверхсложная.