1.6. Корпускулярное представление нормальных колебаний решетки

Нормальные осцилляторы. Каждое нормальное колебание имеет с собой порцию энергии и импульса. В теории колебаний доказывается, что энергия нормального колебания решетки равна энергии осциллятора, имеющего массу, равную массе колеблющихся атомов, и колеблющегося с частотой, равной частоте нормального колебания:

. (19)

Такие осцилляторы называются нормальными.

Полная энергия кристалла, в котором возбуждены все 3N нормальных колебаний, равна:

. (20)

Таким образом, полная энергия кристалла, состоящего из атомов совершающих связанные колебания, равна энергии 3N независимых нормальных линейных гармонических осцилляторов. В этом смысле система из N связанно колеблющихся атомов эквивалентна набору из 3N нормальных осцилляторов и задача об определении средней энергии такой системы сводится к более простой задаче об определении средней энергии 3N нормальных осцилляторов.

Следует подчеркнуть, что нормальные осцилляторы не имеют ничего общего с реальными атомами, кроме одинаковой массы. Каждый нормальный осциллятор представляет одно из нормальных колебаний решетки, в котором участвуют все атомы кристалла, совершая его с одной и той же частотой

Фононы. Мы знаем, что энергия квантового осциллятора квантована ― она может принимать лишь следующий ряд дискретных значений

, n = 0, 1, 2, ... . (20)

Поэтому квантоваться должна и энергия нормальных колебаний решетки, причем допустимые значения для нее определяются также соотношением (20).

Минимальной порцией или квантом энергии таких колебаний является:

. (21)

Этот квант называется фононом.

Можно провести аналогию между фононами и фотонами. Подобно тому, как электромагнитное поле излучения, заполняющее например, полость абсолютно черного тела можно трактовать как набор световых квантов ― фотонов, поле упругих колебаний, заполняющих кристалл, можно рассматривать как совокупность квантов нормальных колебаний решетки ― фононов. Как и фотон фонон обладает не только энергией, но и импульсом:

. (22)

Однако фононы не являются частицами в обычном смысле. Появляясь в результате квантования нормальных колебаний, они представляют собой корпускулярный аспект описания коллективных волновых движений, охватывающих весь кристалл (упорядоченный коллектив).

Поэтому они существует лишь постольку, поскольку существует сам упорядоченный коллектив. Фононы не могут быть «вынуты» из кристалла и исчезают вместе с разрушением кристалла. Такого рода элементарные возбуждения кристалла принято называть квазичастицами.

В гармоническом приближении, в котором нормальные колебания решетки являются независимыми, взаимодействие между фононами равно нулю и они образуют идеальный газ. Поэтому в динамическом отношении кристалл можно рассматривать как идеальный газ фононов.