1.4. Акустические и оптические колебания

Рассмотрим теперь цепочку, состоящую из атомов двух видов, правильно чередующихся друг за другом (рис. 7, а). Обозначим массу более тяжёлых атомов через М, более лёгких через m.

В такой цепочке возможно возникновение двух типов нормальных колебаний, показанных на рис. 7, б. Он иллюстрирует два типа нормальных колебаний, соответствующих самой короткой длине волны . В первом случае колеблются тяжёлые атомы, лёгкие покоятся, во втором случае колеблются лёгкие атомы, а тяжёлые покоятся. Ясно, что частота колебаний в первом случае должна быть ниже, чем во втором.

На рис. 7, в и г показаны колебания цепочки. Соответствующие большим длинам волн (λ>>d). Колебания "в" ничем не отличаются от колебаний однородной цепочки: соседние атомы колеблются практически в одной фазе. Такие колебания называются акустическими, так как они включают весь спектр звуковых колебаний цепочки. Для цепочки, состоящей из одинаковых атомов, это единственные колебания, которые могут в ней возникнуть.

Рисунок 7. Нормальные колебания цепочки из атомов двух видов:

а ― расположение атомов в цепочке; б ― два типа нормальных колебаний, отвечающих самой короткой длине волны; в ― акустические нормальные колебания для λ >> d; г ― оптические нормальные колебания для λ >> d.

В случае нормальных колебаний, показанных на рис. 7, г соседние атомы колеблются в противоположных фазах. Эти колебания можно рассматривать как колебания друг относительно друга двух подрешёток из однородных атомов, вставленных одна в другую. Их называют оптическими колебаниями, т.к. они играют основную роль в процессах взаимодействия света с кристаллом. В частности поглощение ИК света ионными кристаллами обусловлено именно оптическими колебаниями решётки.

Акустические же колебания играют основную роль в определении тепловых свойств кристаллов ― теплоёмкости, теплопроводности, термического расширения и т.д.

На рис. 8 показаны дисперсионные кривые для акустических и оптических нормальных колебаний цепочки, состоящей из двух сортов атомов. В то время как для акустических колебаний частота растёт с ростом волнового вектора и достигает максимального значения при , для оптических колебаний имеет место при k = 0; с ростом k частота оптических колебаний уменьшается и становится минимальной при .

Рисунок 8. Дисперсионные кривые для акустических и оптических нормальных колебаний цепочки, состоящей из двух сортов атомов

1.5. Спектр нормальных колебаний решётки

Одним из основных вопросов теории колебаний решётки является вопрос о распределении нормальных колебаний по частотам. Своё рассмотрение мы ограничим решётками Бравэ, в которых могут возникнуть только акустические колебания.

Начнём как и ранее с простейшей модели кристалла ― линейной цепочки атомов. Длины волн нормальных колебаний, которые могут возникать в такой цепочке, равны:

, n = 1, 2, 3…, N, (8)

где L ― длины цепочки; N ― число атомов в ней. Число нормальных колебаний z с длины волны, равный или большей , равно, очевидно, n:

. (9)

Аналогичным образом, число стоячих волн в трёхмерном кристалле объёмом V (например, в кубе с ребром L и объёмом ), обладающих длиной, равной или больше λ, должно равняться

³ = 8 .

Более строгий расчёт показывает, что

.

Так как , где с ― скорость звука, то

. (10)

Дифференцируя это выражение получим;

. (11)

Формула (11) выражает число нормальных колебаний, заключённое в интервале частот от до . Функция

(12)

определяет плотность заполнения спектрального участка нормальными колебаниями, а следовательно, и частотный спектр этих колебаний. Она называется функцией распределения нормальных колебаний.

В соответствии с тем, что спектр нормальных колебаний решёток Бравэ ограничивается 3N акустическими колебаниями, функция распределения должна удовлетворять следующему условию нормировки:

, (13)

где ― максимальная частота, ограничивающая спектр нормальных колебаний сверху.

Подставив (12) в (13) и проинтегрировав, получим

. (14)

Отсюда находим:

, (15)

частота называется характеристической дебаевской частотой

Из условия

(16)

м ожно определить температуру

(17)

называемую характеристической температурой Дебая. Здесь k ― постоянная Больцмана.

Температура Дебая , указывает для каждого вещества ту область, где становится существенным квантование энергии колебаний.

Подставляя с³ из (14) в (12), получим

. (18)