ЛЕКЦИЯ № 11

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Введение

В квантовой механике возникает важнейшая проблема отыскания такого уравнения, которые явилось бы тем же, чем являются уравнения движения Ньютона для классической механики.

Как известно, уравнения Ньютона позволяют для макроскопических тел решать основную задачу механики ― по заданным силам, действующим на тело (или систему тел), и начальным условиям (начальным значениям координат и скорости тела) найти для любого момента времени координаты тела и его скорость, т.е. описать движение тела в пространстве и во времени.

При постановке аналогичной задачи в квантовой механике нужно сразу учесть, что для частиц микромира характерна двойственность свойств, которая ограничивает возможность применения к таким частицам классических понятий о координате и скорости (или импульсе). Вероятностное (статистическое) истолкование волн де Бройля и соотношения неопределенностей указывают, что уравнение движения в квантовой механике должно быть таким, чтобы оно позволяло объяснить наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц.

Поскольку состояние частицы в пространстве в данный момент времени в квантовой механике задается волновой функцией , то основное уравнение квантовой механики должно быть уравнением относительно функции . Кроме того, оно должно быть волновым, т.к. из него должны получать свое объяснение эксперименты по дифракции микрочастиц, указывающие на их волновые свойства.

1. Общее уравнение Шредингера

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механикой было получено Э. Шредингером (1926 г.). Как и уравнение движения Ньютона, лежащие в основе классической механики, уравнение Шредингера постулируется.

Справедливость уравнения Шредингера доказывается тем, что выводы квантовой механики, полученные с помощью этого уравнения в атомной и ядерной физике, находятся в хорошем согласии с опытом.

Общее уравнение Шредингера имеет вид

, (1)

где ― мнимая единица; ; ― оператор Лапласа; ― масса частицы; ― искомая волновая функция частицы; ― потенциальная энергия частицы в силовом поле.

Уравнение (1) справедливо для любой частицы, движущейся со скоростью v<<C. Это уравнение дополняется важными условиями, которые накладываются на волновую функцию . Этих условий три:

1. Функция должна быть конечной, непрерывной и однозначной;

2. Производные , , , должны быть непрерывны.

3. Функция должна быть интегрируема, то есть интеграл

должен быть конечным; в простейших случаях это условие сводится к требованию нормировки вероятностей.

2. Стационарное уравнение Шредингера

Уравнение (1) часто называют временным уравнением Шредингера, так как оно содержит производную от функции Ψ по времени. Однако для большего числа физических явлений, происходящих в микромире, например для описания поведения электрона в атоме, важно уметь находить стационарные решения уравнения Шредингера, не содержащие времени.

Для решения этой задачи нужно получить уравнение Шредингера, в котором исключена зависимость Ψ от времени. Оно имеет смысл для тех задач, в которых потенциальная энергия не зависит от времени:

Будем искать решение уравнения (1) в виде произведения

(2)

в котором разделены переменные: является функцией координат, ― функцией времени.

Подставляя уравнение (2) в (1) и производя дифференцирование, получим

.

Разделим правую и левую части уравнения на

. (3)

Поскольку левая часть уравнения есть функция времени, а правая ― функция координат, то уравнение (3) удовлетворяется при единственном условии ― обе части равны постоянной величине. Обозначим ее через E

,

.

Последнее уравнение обычно записывают в форме:

(4)

и называют стационарным уравнением Шредингера. Это уравнение является важнейшим соотношением нерелятивистской квантовой механики, играющим основную роль в атомной физике.

В уравнение Шредингера (4) входит в качестве параметра полная энергия E частицы, движущейся в данном потенциальном поле и обладающей потенциальной энергией U. Значения E, при которых существуют решения уравнения Шредингера, называются собственными значениями. Решения, соответствующие собственным значениям E, называются собственными функциями задачи.

Собственные значения могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном спектре, во- втором ― о дискретном спектре.

Общее решение временного уравнения Шредингера (1) имеет вид

. (5)

Здесь ― частное решение стационарного уравнения Шредингера (4).

Таким образом, состояние частицы в данный момент времени описывается периодической функцией времени с циклической частотой , определяемой полной энергией E частицы. Как уже отмечалось в предыдущей лекции, эта связь энергии E частицы с частотой волны де Бройля является важнейшей основой квантовой механики.

Далее рассмотрим примеры отыскания собственных значений и собственных функций.