18. Работа внешних сил. Потенциальная энергия. Принцип возможных перемещений (без вывода)

Если нагруженное тело находится в равновесии, то внутренние силы равны по значению внешним силам и противоположны им по направлению. Очевидно, что они препятствуют развитию деформации. Работа внутренних сил (U), с учетом их направления по отношению к деформации, всегда является отрицательной.

Работа внешних сил равна взятой с обратным знаком работе внутренних сил:

.

Пусть элемент стержня длиной  испытывает растяжение (рис. 15.3, а).

Действие отброшенных частей стержня на рассматриваемый элемент заменим продольными силами N. Эти усилия показаны на рисунке штриховыми линиями. По отношению к элементу они являются как бы внешними. Вызываемое ими удлинение элемента равно:  .

 Действие рассматриваемого элемента на отброшенные части показано на рисунке сплошными линиями. Элементарная работа внутренних продольных сил, постепенно увеличивающихся, и противодействующих развитию удлинения, согласно теореме Клапейрона, выразится формулой:  .

Согласно закону сохранения энергии, работа внешних сил не исчезает, а переходит в потенциальную энергию (V), накапливаемую в упругом теле при его деформировании.

Следовательно, потенциальная энергия деформации численно равна работе внешних сил при нагружении тела (или работе внутренних сил, совершаемой ими в процессе разгружения).

Таким образом, потенциальная энергия деформации стержня, испытывающего, например, растяжение, кручение и прямой поперечный изгиб, равна:

.

Как видно из этой формулы, потенциальная энергия деформации всегда положительна, поскольку она является квадратичной функцией обобщенных сил (или обобщенных перемещений, так как последние линейно связаны с обобщенными силами). Отсюда следует, что потенциальная энергия, накопленная в результате действия группы сил, не равна сумме потенциальных энергий, накопленных от действия каждой нагрузки в отдельности. То есть принцип независимости действия сил при вычислении потенциальной энергии деформации не применим.

Возможными перемещениями называют перемещения, вызываемые, как правило, виртуальными, задаваемыми для расчёта факторами.

Принцип возможных перемещений сформулирован для абсолютно твердых тел Лагранжем в 1788 г. и впервые применен к деформируемым телам Пуассоном в 1833 г.

Формулировка принципа возможных перемещений: если система находится в равновесии под действием приложенной к ней нагрузки, то сумма работ внешних и внутренних сил на всяком бесконечно малом возможном перемещении точек системы, допускаемых связями, равна нулю.  , где  – возможная работа внешних, а  – возможная работа внутренних сил.

В процессе совершения системой возможного перемещения значение и направление внешних и внутренних сил считаются неизменными. Поэтому возможная работа внешних и внутренних сил определяется простым произведением соответствующих сил и перемещений. Учитывая принятое в сопротивлении материалов допущение о малости деформаций и линейную зависимость деформаций от нагрузок, в качестве возможных перемещений можно принимать и конечные упругие перемещения, вызванные любым видом внешней нагрузки и происходящие без нарушения связей.