12.1.6. Построение эпюр поперечных и продольных сил

 

Построение эпюр Q и N производится при помощи тех же приёмов, которые применяются в методе сил.

Эпюру Q строят по эпюре M, используя следующие формулы:

;

если на участке эпюра изгибающих моментов линейная, то

;

при действии на участке равномерно распределённой нагрузки формула имеет вид:

.

Для определения величин продольных сил нужно вырезать узлы рамы, приложить к ним действующую на них внешнюю узловую нагрузку, а также неизвестные продольные и найденные ранее поперечные силы и затем составить для узлов уравнения равновесия, из которых и определяют продольные силы.

52. использование симметрии при расчете систем методом перемещений.

При расчете симметричных систем методом перемещений, так же как и при расчете методом сил, можно применить группировку неизвестных. В этом случае все эпюры от единичных неизвестных будут только симметричными или обратносимметричными. В результате такой группировки канонические уравнения распадутся на две независимые системы, в одну из которых войдут только симметричные, а в другую обратносимметричные неизвестные. Такой прием значительно облегчает расчет.

Рассмотрим в качестве примера раму, изображенную на рис. 7.37.

Неизвестный угол поворота узла а рамы представим в виде суммы углов поворота   а поворот узла b, симметричного узлу а, в виде разности   (рис. 7.38).

Рис. 7.37

Рис. 7.38

Горизонтальное перемещение ригеля   является обратносимметричным неизвестным, так как узел b (см. рис. 7.38) при этом перемещается от оси симметрии рамы, а симметричный ему узел а — к этой оси.

Рис. 7.39

В этом случае система канонических уравнений метода перемещений, состоящая из трех уравнений:

распадается на две независимые системы уравнений:

и

так как

Эпюры изгибающих моментов от единичных групповых неизвестных показаны на рис. 7.39.

(см. скан)

Рис. 7.40

Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений будут равны:

так как 

На рис. 7.40 приведены единичные эпюры изгибающих моментов (в основной системе с групповыми симметричными и обратносимметричными неизвестными) для П-образной рамы и эпюра от нагрузки. Читателю предлагается проверить построение эпюр и указанные ниже значения реакций (коэффициентов и свободных членов канонических уравнений):

53. расчет методом перемещений на изменение температуры.

Для расчета сооружений методом перемещений на температурные воздействия необходимо иметь эпюры внутренних усилий для отдельных стержней, составляющих набор стандартных задач (см. рис. 8.7 п. 8.2), от изменения температуры со стороны их краевых волокон.

Будем считать постоянными вдоль оси любого к-го стержня величины жесткостей EJ_k, EA_k поперечного сечения, высоты поперечного сечения h_k, коэффициента линейного температурного расширения материала α_к и приращения температуры Δtº_к.

Считая эпюру приращений температур по высоте поперечного сечения линейной, представим ее в виде суммы двух эпюр, одна из которых характеризует неравномерные приращения температур (рис. 8.36, б), а другая – равномерные (рис. 8.36, в).

 

Рис. 8.36

 

Напоминаем, что характеристикой неравномерного приращения температуры является величина   – перепад приращений температуры по высоте поперечного сечения, а равномерного  – приращение температуры на уровне центра тяжести поперечного сечения. Величина   определяется по эпюре приращений температуры   при известном положении центра тяжести поперечного сечения. В частности, для поперечных сечений с двумя осями симметрии

.

Рассмотрим решение одной из стандартных задач методом сил на температурное воздействие, в частности, построение, эпюры изгибающих моментов для стержня, показанного на рис. 8.37,а. Для любого сечения стержня примем 

Основная система метода сил показана на рис. 8.37,б. Усилие в лишней связи X₁ получим из уравнения

 

                                   (8.28)

Используя эпюру изгибающих моментов М₁ от X₁=1 (рис. 8.37,в) и условную эпюру изменения величины   по длине стержня, ординаты которой откладываются со стороны более «теплых» волокон (рис. 8.37,г), получим:

так как в основной системе метода сил от X₁=0  N₁=0.

Из уравнения (20.1) найдем неизвестное метода сил

где  ,  .

Окончательную эпюру М построим, используя соотношение

М = М₁X₁ (рис. 8.37,д).

Рис.8.37

 

Результат решения аналогичной задачи для стержня, защемленного с двух концов, приведен на рис. 2.38,а. Ординаты полученных эпюр изгибающих моментов (рис.8.37,д и 8.38,а) от изменения температуры откладываются со стороны более «холодных» волокон.

На рис. 8.38,б приведена эпюра продольных сил для стержня, ограниченного по концам цилиндрическими шарнирами, от равномерного нагрева всех волокон на 

54. расчет методом перемещений на осадки опор.

55. смешанный метод расчета статически неопределимых систем.

Смешанный метод. Сопоставление методов сил и перемещений, их обобщение. Основная система, неизвестные и канонические уравнения смешанного метода.

в расчетах применяется так же смешанный метод, где основная система получается из исходной путем одновременного устранения связей в одном месте и введения дополнительных связей в другом. в одних и тех же уравнениях неизвестными служат частью усилия, а частью – перемещения.

56. комбинированный способ расчета рам.

Сущность комбинированного приема расчета поясним на примере рамы, изображенной на рис. 7.59. Раскладывая действующую на нее несимметричную нагрузку на симметричное и обратносимметричное воздействия, получим два состояния рамы, изображенные на рис. 7.60, а, б.

Рис. 7.59

Рис. 7.60

Для каждого из этих состояний можно легкоустановить число неизвестных при расчете рамы методом сил и методом перемещений. Так, из симметрии деформации рамы при симметричном ее загружении следует, что смещение ригеля 1—2 по горизонтали равно нулю, а поворот узла 1 равен повороту узла 2 и противоположен ему по направлению, т. е.   (рис. 7.61, а).

Рис. 7.61

Следовательно, рассчитывая раму методом перемещений на симметричную нагрузку, необходимо составить и решить одно уравнение с одним неизвестным. Применяя же для этого метод сил и используя основную систему, изображенную на рис. 7.61, б, а также учитывая при этом, что поперечная сила   при симметричном

загружении рамы равна нулю, придется составить и решить два уравнения с двумя неизвестными.

Очевидно, что на симметричную составляющую заданной нагрузки целесообразно рассчитать рассматриваемую раму методом перемещений.

Основная система метода перемещений при воздействии на раму обратносимметричной нагрузки изображена на рис. 7.62, а. Число неизвестных равно двум. В самом деле, углы поворота узлов 1 и 2 (учитывая обратносимметричный вид нагрузки) будут как по величине, так и по направлению равны друг другу; ригель же 1—2 получит горизонтальное смещение, т. е. 

Рис. 7.62

Следовательно, рассчитывая раму методом перемещений при действии обратносимметричной нагрузки, необходимо составить два уравнения с двумя неизвестными.

Рассчитывая раму на обратносимметричную нагрузку методом сил, можно воспользоваться основной системой, изображенной на рис. 7.62, б, в которой неизвестным усилием будет лишь поперечная сила   момент же   и продольная сила   при обратносимметричном загружении равны нулю. В этом случае придется решить лишь одно уравнение с одним неизвестным.

Таким образом, при расчете рассматриваемой рамы на обратносимметричную составляющую заданной нагрузки целесообразно воспользоваться методом сил.

Сведем полученные результаты в табл. 7.8.

Таблица 7.8

Рассмотренный выше прием расчета симметричной рамы называется комбинированным способом. Он используется при расчетах симметричных систем на несимметричные нагрузки.

57. применение метода сил в расчетах неразрезных балок.

Неразрезной балкой называется статически неопределимая балка, опирающаяся в пролете на конечное число шар­нирных опор. Крайние сечения неразрезной балки могут быть сво­бодны, заделаны или шарнирно оперты. Одна из опор неразрезной балки имеет связь, препятствующую смещению балки вдоль ее оси.

Расчет неразрезной балки (рис.11.1, а) можно выполнить, как и любой статически неопределимой системы методом сил. Основ­ную систему для расчета неразрезной балки получим, удалив из нее связи, препятствующие взаимному повороту смежных сечений бал­ки над ее опорами, т.е. поместив шарниры в опорных сечениях балки (рис.11.1, б).

Неизвестными являются изгибающие моменты, возникающие в сечении неразрезной балки над опорами.

Выделим из основной системы четыре примыкающих друг к другу пролета со средней опорой номером n и построим единичные и грузовые эпюры (рис.11.2). Из анализа единичных эпюр видно, что в любом каноническом уравнении только три единичных коэф­фициента будут отличны от нуля. Напишем одно из канонических уравнений в общем виде:

.                                                                   (11.1)

Подсчитаем единичные и грузовые коэффициенты, применяя правило Верещагина «перемножения» эпюр:

                                                                       (11.2)

Подставим найденные коэффициенты в (11.1), получим:

                                                (11.3)

В случае балки постоянного сечения J₁ = J₂ =...= J_n = J_n+1 и введя обозначения X_n1 = M _n1; X_n = M_n;X_n+1 = M_n+1, получим:

.                                       (11.4)

Это и есть уравнение трех моментов для неразрезной балки постоянного сечения. В этом урав­нении неизвестными являются из­гибающие моменты на опорах. Если у неразрезной балки все опоры шар­нирные, то таких уравнений можно составить столько, сколько у балки промежуточных опор.

При наличии на концах балки нагруженных консолей, изгибающие моменты на крайних опорах войдут в уравнение трех моментов, как из­вестные величины, а при отсутствии консолей эти моменты будут равны 0.

Рис.11.1

 

Рис.11.2

 

Если конец неразрезной балки защемлен, то для применения уравнения (11.4) необходимо, отбросив заделку, ввести с ее сто­роны дополнительный пролет  =0 (рис.11.2). Такая система будет деформироватьсятакже, как балка с жесткой заделкой.

Решая совместно, составленные таким образом уравнения, най­дем все неизвестные изгибающие моменты на опорах. Далее для построения эпюр M и Q, каждый пролет неразрезной балки рас­сматриваем как балку на двух шарнирных опорах, загруженных внешней нагрузкой и двумя опорными моментами. Ординаты эпюр могут быть подсчитаны по формулам:

,                                                                                (11.5)

где   и   ординаты эпюр М и Q от внешней нагрузки в основной системе.

Чтобы убедиться в правильности построения эпюр М и Q необ­ходимо провести проверку равновесия неразрезной балки по уравнениям:  ;  .

Для этого следует определить вертикальные опорные реакции неразрезной балки, используя эпюру Q: 

.                                                                                                      (11.6)

58. основы расчета систем по несущей способности. Предельные состояния.

К важнейшим этапам экспертизы эксплуатационной надежности конструкций, которую проводят при проектировании ремонтных и реконструктивных работ, относится выполнение расчётов несущей способности зданий. Проверочные расчёты осуществляются на основании результатов предварительного обследования, в ходе которого выявляются дефекты, отклонения от размеров, степень коррозионного износа, реальные прочностные свойства материала, осадок грунтов, а также величина действительных нагрузок и температурных воздействий. В ходе расчётов проверяются несущие способности огромного количества строительных конструкций, в числе которых плиты перекрытия, фундаменты, балки, стены и другие элементы.

Для выполнения расчётов несущей способности зданий используются современные методы строительной механики, а также методы сопротивления материалов. В формулы по вычислению фактической устойчивости и прочности вводятся специальные понижающие коэффициенты, которые выбирают в зависимости от степени износа конструкций. Полученные результаты сравнивают с величиной нормативных действующих нагрузок.

До недавнего времени большинство расчётов несущей способности зданий выполнялось вручную. Из-за больших объёмов и громоздких формул эти расчёты занимали много времени. Сегодня специалисты, которые занимаются экспертизой зданий, используют для расчётов сертифицированные компьютерные программы.

Чтобы произвести компьютерный расчёт несущей способности зданий, следует произвести предварительное обследование, и иметь следующие данные:

геометрические параметры конструктивных элементов здания, в том числе размеры сечений несущих конструкций;

дефекты и разрушения, которые оказывают влияние на несущую способность конструкций;

точные параметры мест опираний и сопряжений несущих конструкций;

сопротивления материалов, использованных в несущих конструкциях;

фактические нагрузки, испытываемые конструкциями здания или сооружения, а также условия эксплуатации;

при расчётах несущей способности железобетонных конструкций - система фактического армирования и способы сопряжения элементов конструкций между собой.

При выполнении расчётов несущей способности зданий принимаются во внимание действующие СНиПы, которые разработаны для строительных конструкций из различных материалов.

Благодаря произведённым расчётам специалисты могут сделать вывод о техническом состоянии зданий и сооружений, а также принять решение о возможности их последующей эксплуатации.

Существуют две группы предельных состояний: первая - по несущей способности и общей устойчивости и вторая - по деформациям. При расчетах по первой группе ограничиваются величины усилий, при расчетах по второй группе основным ограничением служат предельные деформации.

Основной целью расчета по предельным состояниям является ограничение усилий (по первому предельному состоянию) или деформаций (по второму предельному состоянию), чтобы эти предельные состояния не наступили, то есть была бы обеспечена в дальнейшем возможность эксплуатации здания или сооружения.

59. задачи динамики сооружений. Виды динамических нагрузок. Свободные колебания системы с одной степенью свободы (без учета сил сопротивления).

При рассмотрении в динамическом действии нагрузки, меняющиеся со временем и вызывающее заметное ускорение движения элементов сооружения, упитывающихся возникающей силой инерции, скорость движения нагрузки и кинетическая энергия, передающиеся сооружению при ударе.

Динамические нагрузки:

Вибрационная нагрузка – создается стационарными машинами и механизмами с движущимися частями. Нагрузки этого вида почти не зависят от свойств конструкции, на которые они действуют, но являются основными источниками колебаний этих конструкций.

Ударная нагрузка – создается падающими грузами и падающими частями силовых установок. Эти нагрузки характеризуются небольшой продолжительностью их действия и зависят от упругих и инерционных свойств конструкций, воспринимающих удар.

Подвижная нагрузка – положение которой меняется во времени в пролетах сооружений.

к числу динамических нагрузок относиться:

- ветровая нагрузка

- нагрузка от взрывной волны

- сейсмическая нагрузка

Свободные колебания системы с одной степенью свободы (без учета сил сопротивления) – это система с одной точечной массой.

в динамических сооружениях про определении степени свободы, рассматриваются упругие или упругопластичные диформации:

одна степень свободы т.к. положение этой массы м, определяется одним параметром у.

60. свободные колебания системы с одной степенью свободы при наличии сил затухания.

Движение системы с одной степенью свободы, с учетом затухания при действии произвольной нагрузки   описывается дифференциальным уравнением

    (12.111)

Общее решение дифференциального уравнения (12.111) имеет вид

Общее решение однородного уравнения

    (12.112)

Найдем частное решение неоднородного уравнения  . Решим вспомогательную задачу.

Рис. 12.21

Найдем перемещение массы от начального мгновенного импульса (рис. 12.21, а)

    (12.113)

По закону Ньютона

отсюда

    (12.114)

Интегрируя обе части равенства (12.114), получим 

    (12.115)

Так как   то в соответствии с (12.115)

    (12.116)

Рассмотрим случай, когда   тогда правая часть уравнения (12.111) равна нулю и его решение имеет вид (12.112).

В качестве начальных условий примем

    (12.117)

Подставляя эти начальные условия в формулы (12.59) и (12.60), получим

    (12.118)

Подставляя (12.118) в (12.112), получим

    (12.119)

При   выражение (12.119) примет вид

    (12.120)

Выражение (12.120) носит название реакции системы на единичный мгновенный импульс. На рис. 12.21, б изображен график функции 

Рис. 12.22

Далее рассмотрим случай действия на систему произвольной нагрузки (рис. 12.22). Нагрузку   можно подставить в виде суммы элементарных импульсов  . Прогиб от элементарного импульса 

    (12.121)

Полный прогиб от нагрузки 

    (12.122)

Интеграл (12.122) носит название интеграла Дюамеля. Полный интеграл дифференциального уравнения (12.111) имеет вид

Рассмотрим случай внезапно приложенной силы Р при   Начальные возмущения равны нулю, следовательно,

    (12.124)

Выражение (12.124) совпадает с выражением (12.87).

В большинстве случаев интеграл (12.122) не берется в замкнутом виде, кроме того, функция   часто определяется непосредственно по результатам эксперимента и реакцию системы   следует вычислять численными методами.

Развернем выражение для 

    (12.125)

Подставляя (12.125) в выражение (12.122), получим

    (12.126)

или

    (12.127)

где

    (12.128)

Таким образом, численное определение интеграла Дюамеля сводится к вычислению интегралов с переменным верхним пределом  .

В качестве примера рассмотрим интеграл A (t). На рис. 12.23 показаны функции   и их произведение  . Для удобства используем равные промежутки  . При решении динамических задач необходимо найти числовые значения у   при 

Определим значение   в момент времени   при этом можно использовать либо формулу прямоугольников, либо формулу трапеций (табл. 12.1).

Таблица 12.1

Далее определим значение   в момент времени   при этом можно использовать более точную формулу — формулу Симпсона (подынтегральная функция заменяется квадратной параболой)

    (12.129)

(см. скан)

Рис. 12.23

(см. скан)

Рис. 12.24

Для   формула (12.129) будет иметь вид

    (12.130)

Аналогично вычисляется и интеграл 

На рис. 12.24 приведены результаты расчета системы с одной степенью свободы с использованием интеграла Дюамеля. Действующая нагрузка выделена на рис. 12.24 вертикальной штриховкой,  . Масштаб для нагрузки указан слева от графиков, для перемещений   ( -справа. Для назначения шага интегрирования использовалось последовательное уменьшение шага вдвое до тех пор, пока результаты, полученные при шагах, отличающихся вдвое, не совпали между собой. До момента времени   (пока действовала нагрузка) вычисления производились с использованием численного интегрирования [см. (12.127)]. После окончания действия нагрузки система переходит, в свободное колебательное движение. Для построения графика использовались формулы (12.53), (12.59), (12.60), причем   Перемещение   вычислялось по формуле (12.127). Для вычисления   можно использовать либо конечно-разностное выражение

либо выражение, соответствующее точному значению производной,

61. вынужденные колебания системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления. Коэффициент динамичности.

Таким образом, дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания упругой системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления имеет вид:

.

Примем частное решение данного дифференциального уравнения в виде .

Его первая и вторая производная имеют вид

, .

Подставляя выражения для и в дифференциальное уравнение, получим

.

Данное равенство будет выполняться, если

Из последнего уравнения выразим С₂:

,

.

Преобразуем первое уравнение:

и подставим в него выражение для C₂:

,

.

Таким образом, коэффициенты уравнения колебательного процесса принимают вид:

; .

Введем обозначения:

,

.

С учетом этих обозначений уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде:

.

Отсюда видно, что A_вын - амплитуда вынужденных колебаний,  - фазовый сдвиг между вынуждающей силой и вызываемыми ею колебаниями.

Определим амплитуду вынужденных колебаний:

,

,

.

Выразим массу из формулы для частоты собственных колебаний:

→ .

Тогда амплитуда вынужденных колебаний вычисляется по следующей формуле:

.

Здесь - статическое перемещение точки, за колебанием которой мы наблюдаем. То есть, если амплитудную величину возмущающей силы приложить к данной точке статически (в направлении колебательного процесса), то эта точка получит статическое перемещение .

Тогда представим формулу для амплитуды вынужденных колебаний в следующем виде:

, где

- коэффициент динамичности.

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний (динамическое перемещение):

.

В соответствии с законом Гука напряжение прямо пропорционально деформации, то есть

.

Если либо , то коэффициент динамичности

.

График зависимости коэффициента динамичности от отношения частот вынужденных и собственных колебаний:

При : - это случай резонанса. Фазовый сдвиг:

.

При фазовый сдвиг , т.е. вынуждающая сила достигает максимального значения в момент, когда колебательная система проходит через состояние равновесия. Это и является причиной резонанса.

62. свободные колебания системы с несколькими степенями свободы. Вывод векового уравнения.

Рассмотрим системы с несколькими степенями свободы, которые могут совершать колебательные движения вблизи устойчивых положений равновесия. Примеры таких систем показаны на рис. 12.1.         а) б) Рис.12.1 Данные колебательные системы имеют две степени свободы. При заданных значениях   в качестве обобщенных координат можно взять углы отклонения  . Многоатомные нелинейные молекулы имеют   колебательных степеней свободы, линейные многоатомные молекулы имеют  колебательных степеней свободы. Здесь   - число атомов в молекуле. Примером линейной трехатомной молекулы может служить молекула  . На рис. 12.2. показаны нормальные (см. ниже) колебания данной молекулы.     Рис. 12.2 12.2 Кинетическая и потенциальная энергия колебательной системы с несколькими степенями свободы. Функция Лагранжа В лекции 9 было показано, что кинетическая энергия системы со многими степенями свободы может быть представлена в виде:  (9.16) где  , (9.17)  , (9.18)  . (9.19) Здесь функции   и  явно зависят от обобщенных координат частиц и времени. Кинетическая энергия системы частиц является неоднородной квадратичной формой относительно обобщенных скоростей. В том случае, когда на систему накладываются стационарные связи, для кинетической энергии можно записать: , (9.20) и функция Лагранжа, в случае активных потенциальных сил имеет вид: . (9.21) Коэффициенты   носят название коэффициентов инерции. В качестве их могут выступать, например, массы и моменты инерции частиц системы. Конкретизируем теперь вид потенциальной энергии в формуле (9.21), считая, что она не зависит от времени. Разложим потенциальную энергию в ряд по степеням   вблизи устойчивого положения равновесия системы:  (12.1) Первое слагаемое можно считать равным нулю, полагая, что потенциальная энергия в положении равновесия равна нулю (нормировка потенциальной энергии). Все коэффициенты при координатах   в первой степени также равны нулю для положения устойчивого равновесия. Введем обозначения: . (12.2) Эти коэффициенты называются обобщенными коэффициентами жесткости. Они симметричны, т.е. . (12.3) В результате для потенциальной энергии получаем:  , (12.4) где точками обозначены члены высших порядков. Для случая малых колебаний используется гармоническое приближение, в котором всеми, не выписанными членами старших порядков, пренебрегают. В результате функция Лагранжа колебательной системы в гармоническом приближении имеет вид: . (12.5) 12.3 Малые колебания системы с двумя степенями свободы Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, которая совершает малые колебания вблизи устойчивого положения равновесия. Основные выводы данного рассмотрения могут быть без изменений распространены на системы с произвольным числом степеней свободы. Функция Лагранжа (12.5) для системы с двумя степенями свободы имеет вид: , (12.6) , (12.7) . (12.8) Коэффициенты инерции в формуле (12.7) в общем случае зависят от координат  . Разложим их в ряд по степеням   и ограничимся членами первого порядка:  . Тогда кинетическая энергия: . (12.9) Здесь все коэффициенты инерции – постоянные числа. Для положения устойчивого равновесия квадратичная форма (12.8) положительна, как и квадратичная форма кинетической энергии (12.9). Коэффициенты инерции и коэффициенты жесткости, следовательно, удовлетворяют критерию Сильвестра:  (12.10) Дифференциальные уравнения колебаний получаются из уравнений Лагранжа  (12.11) и выражений (12.6), (12.8) и (12.9):  , (12.12) где использованы равенства  . Следовательно, малые колебания системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия описываются двумя однородными линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение уравнений (12.2) ищем в виде:  , (12.13) где   - неизвестные постоянные. Дифференцируя дважды по времени уравнения (12.13), подставляя полученные результаты в уравнения (12.12), получим: . (12.14) Система (12.14) содержит алгебраические однородные линейные уравнения для нахождения амплитуд  . Система уравнений (12.14) имеет решение отличное от нуля, если определитель этой системы равен нулю:  . (12.15) Уравнение (12.15) называется вековым или характеристическим уравнением частот. Оно представляет собой квадратное уравнение относительно  . Корни его вещественны и положительны. Обозначим их  . Извлечем корни и используем положительность значений  . Данные частоты называются характеристическими частотами. Каждой характеристической частоте отвечает одно частное решение (12.13). Каждой частоте отвечают свои значения  . Частные решения линейно независимы, поэтому общее решение есть их линейная комбинация: . (12.16) Между числами   и  ,   и   имеется связь. Она устанавливается уравнениями (12.14). Эта связь следующая:  . (12.17) И окончательно, общее решение: . (12.18) В окончательном решении частоты   и коэффициенты   - найденные числа, которые характеризуют колебательную систему, величины   - произвольные постоянные, которые определяются начальными условиями. Из формул (12.18) видно, что колебательное движение системы с двумя степенями свободы около устойчивого положения равновесия складывается из двух независимых колебаний: . (12.19) Первое колебание происходит с частотой  , второе колебание – с частотой  . Эти колебания называются нормальными колебаниями. В каждом нормальном колебании все координаты изменяются по гармоническому закону, имея одинаковые частоты и фазы. Они одновременно обращаются в нуль, одновременно достигают максимальных значений. Амплитуды изменения координат в каждом нормальном колебании находятся в постоянном отношении (  -для первого колебания,   - для второго нормального колебания), не зависящем от начальных условий. В случае, когда система имеет   степеней свободы, колебательное движение распадается на   нормальных колебаний, каждое из которых характеризуется своей характеристической частотой. В частном случае некоторые частоты могут совпадать друг с другом. На рис. 12.2 показаны нормальные колебания молекулы  . Всего имеется четыре нормальных колебания. Линейные колебания молекулы характеризуются частотами  . Частоты двух нелинейных колебаний совпадают друг с другом:  .

63. понятие о главных колебаниях и главных формах колебаний. Ортогональность главных ферм колебаний.

Общее решение (6.12) показывает, что колебательный процесс представляет собой сумму двух гармонических колебаний. Выясним, существуют ли такие начальные условия, при которых колебательный процесс происходит только с какой-нибудь одной частотой. Из соотношений (6.13) легко видеть, что это возможно в двух случаях:

При выполнении этих условий координаты   в течение всего колебательного процесса жестко связаны между собой.

Рис. 185. Формы главных колебаний осциллятора, изображенного на рис 183.

Легко представить себе, что это возможно лишь тогда, когда сам колебательный процесс представляет собой чистое вращение вокруг неподвижного полюса Р, который находится на расстоянии   от центра тяжести S тела (рис. 185). Считая, что   для обоих возможных

случаев находим

Первой форме колебаний соответствует частота   второй — частота  . Эти однопериодические колебания называют главными или нормальными колебаниями. Общее движение можно рассматривать как суперпозицию двух главных колебаний.

Рассмотрим еще два частных случая, допускающих простое исследование.

а)  . При равенстве двух несвязанных собственных частот из уравнения (6.9) легко найти собственные частоты

а затем из формул (6.15) — расстояние от центра тяжести до полюсов:

здесь   — радиус инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести. В этом случае полюсы расположены справа и слева от центра тяжести на расстоянии, равном радиусу инерции.

б)  . Этот случай осуществляется при  . Теперь, как это видно из формулы (6.9),  . Но при этом из первого равенства (6.15) следует, что   и одно из главных колебаний превращается в чистое вращение вокруг центра тяжести. Для другого главного колебания второе равенство (6.15) при рассматриваемых условиях приводит к неопределенности. Однако если в формуле (6.9) величину к взять сначала очень малой, подставить ее во второе равенство (6.15) и затем осуществить предельный переход  , то будем иметь  . При этом становится ясным, что главное колебание представляет собою чистые колебания смещения. Разумеется, этот результат можно было бы получить непосредственно из дифференциальных уравнений (6.6), которые при   становятся несвязанными.

Результат, полученный в частном случае б), можно обобщить: в самом общем случае можно подобрать специальные координаты, так называемые главные координаты, такие, что в этих координатах происходит только однопериодическое движение. При преобразовании системы дифференциальных уравнений (6.6) к главным координатам она распадается на два несвязанных дифференциальных уравнения. Главные координаты находят, например, рассматривая общее решение (6.12) как систему уравнений относительно составляющих колебаний   Решая эту

систему, находим

Таким образом, главные координаты   получаются из исходных координат   линейным преобразованием. С введением   в исходные дифференциальные уравнения (6.6), последние переходят в несвязанную форму:

Эти же выражения можно было бы получить даже еще раньше, рассмотрев выражения для кинетической   и потенциальной   энергии, которые используются при выводе дифференциальных уравнений методом Лагранжа. При этом методе несвязанные дифференциальные уравнения могут получиться только тогда,   выражения как для кинетической, так и потенциальной энергии не содержат квадратичных членов с произведением координат. Поэтому нужно найти такое линейное преобразование координат, которое одновременно переводит выражения для   в суммы квадратов. В алгебре эта операция называется преобразованием к главным осям. Проведем его для данного случая и покажем, что при этом снова получатся уравнения движения в главных координатах  .

С учетом обозначений (6.4) и (6.5) выражения (6.2) и (6.3) можно записать следующим образом:

Теперь введем новые координаты и и о, которые зависят линейно от   и обладают тем свойством, что записанные в этих координатах выражения для   не содержат членов с произведением координат. Для этого положим

После подстановки в выражения (6.18) и некоторых преобразований находим, что суммы квадратов получаются только тогда, когда

Эти два уравнения можно рассматривать как систему для определения входящих в преобразование (6.19) постоянных а и b. Ее решение с учетом соотношений (6.9) и (6.11) дает

Если теперь уравнения (6.19) разрешить относительно и и v и воспользоваться соотношениями (6.16), то будем иметь

Здесь   — уже известные главные координаты. Таким образом, если с самого начала энергетические выражения (6.2) и (6.3) упростить путем преобразования к главным осям, то объем дальнейших вычислений, связанных с получением двух независимых друг от друга уравнений главных колебаний, сократится. Любое другое движение можно получить сложением главных колебаний. Применяя главные координаты, можно существенно упростить расчет линейно связанных колебаний.

64. вынужденные колебания с несколькими степенями свободы от вибрационной нагрузки (определение сил инерции).

вынужденными называются колебания системы на массу нагрузки, кроме вост силы,силы сопротивления, и силы инерции действующей еще силы изменяющейся по времени:

F- амплитуда возмущающей силы.

t- круговая частота возмущающей силы.

Как известно из теоретической механики, элементарные силы инерции можно привести к главному вектору и главному моменту М_И:

 

(4.1)

 

где

m – масса звена;

a_S – ускорение центра масс;

ε– угловое ускорение звена;

J_S– момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения (сокращенно – осевой момент инерции).

Знак "минус" в формулах означает, что сила инерции направлена против ускорения (момент сил – против углового ускорения).

Следует отметить, что главный вектор и главный момент сил инерции не имеют физического содержания и в действительности к звену эти силы не приложены. Они входят в уравнения кинетостатики как чисто математические величины, посредством которых учитывается влияние ускоренного движения звеньев, и условно относятся к разряду внешних сил.

В частных случаях плоское движение может быть вращательным или поступательным, при этом возникает только момент сил инерции (вращение звена с ускорением) или же только сила инерции (поступательное неравномерное движение).

С учётом сил инерции уравнения кинетостатики для каждого звена имеют вид:

(4.2)

 

где , М_i – внешние силы и моменты пар сил, приложенные к i-му звену.

Изучение сил инерции, развивающихся при движении звеньев механизма, ведут в зависимости от характера движения рассматриваемого звена.

 

65. порядок динамического расчета при колебаниях систем с одной степенью свободы.

Рассмотрим упругую балку, изображенную на рис. 15.14. Выведем ее из положения статического равновесия, например, в крайнее нижнее положение, показанное на рис. 15.14, приложив некоторую вертикальную силу; затем мгновенно удалим эту силу. Под действием сил упругости балка переместится вверх, пройдет по инерции через положение статического равновесия и в некоторый момент Времени достигнет крайнего верхнего положения. Затем балка переместится в крайнее нижнее положение, снова в крайнее верхнее и т.д. Подобные колебательные движения упругой системы с переходом ее от одного крайнего положения к другому, происходящие при отсутствии переменных внешних сил, называются   бодными или собственными колебаниями. В отличие от них вынужденными колебаниями называются колебания систем, происходящие при действии на нее переменных внешних (возмущающих) сил.

Рис. 15.14

В любой момент времени на каждую частицу колеблющейся балки действуют сила ее тяжести (веса), силы упругости (со стороны соседних частиц) и, согласно принципу Даламбера, силы ее инерции.

Сила инерции в каждый момент времени в процессе колебаний направлена от положения данной частицы при статическом равновесии к положению, занимаемому ею в рассматриваемый момент. Так, например, когда балка находится между положением статического равновесия и крайним нижним положением, силы инерции направлены сверху вниз.

Рассмотрим теперь упругую балку, к которой в одном сечении прикреплен груз Я, во много раз превышающий вес балки (рис. 16.14, я); в связи с этим массой балки при расчете будем пренебрегать, т. е. будем рассматривать балку как невесомую.

Если известен прогиб какого-либо одного поперечного сечения рассматриваемой балки в некоторый момент времени, то по нему можно определить прогибы всех сечений балки.

Таким образом, положение любого сечения в данный момент времени определяется одним параметром, например прогибом какого-либо одного сечения рассматриваемой балки. Следовательно, эта балка (рис. 16.14, а) представляет собой систему с одной степенью свободы. К системам с одной степенью свободы относятся также системы, показанные на рис. 16.14, б, в, г.

Рис. 16.14

Рис. 17.14

Балки, изображенные на рис. 17.14, а, б, являются системами с двумя степенями свободы, так как для определения положения любого сечения необходимо знать два параметра, например прогибы двух поперечных сечений балки. Система, показанная на рис. 17.14, в, имеет три степени свободы.

Рассмотрим свободные колебания системы с одной степенью свободы, например невесомой балки с прикрепленным к ней грузом, вес которого Р (рис. 18.14).

На основании принципа Даламбера можно считать, что в любой момент времени на балку со стороны груза действует сила  она вызывает прогиб балки (рис. 18.14)  . Прогибы балки и силы принимаем положительными, когда они направлены вниз.

Прогиб Д, отсчитываемый от положения статического равновесия, равен

(37.14)

где   — сила инерции груза в рассматриваемый момент времени;   — прогиб балки под грузом от силы Р— 1.

Рис. 18.14

Сила инерции тела, как известно, равна произведению его массы   на ускорение а и направлена в сторону, противоположную ускорению. Следовательно,

(38.14)

Знак минус взят потому, что, когда производная положительна (и, следовательно, ускорение груза направлено вниз), сила инерции   направлена вверх, т. е. отрицательна.

Подставим в формулу (38.14) выражение   [на основании формулы

Уравнение (39.14) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы. Общий интеграл этого уравнения имеет вид

(40.14)

где

(41.14)

В уравнении (40.14) А и В — постоянные интегрирования. Это уравнение называется уравнением свободных (собственных) колебаний системы.

Из уравнения (40.14) следует, что значения прогибов   повторяются через каждый промежуток времени, за который произведение   возрастает на   т. е. через каждые  . Следовательно, система за   сек совершает одно колебание, а за   колебаний   циклов).

Величина   представляет собой число свободных колебаний, совершаемых системой за   сек, называемое частотой свободных колебаний 

Промежуток времени Т, за который система совершает одно свободное колебание, называется периодом свободных колебаний. Величина периода

(42.14)

Период колебаний Т выражается в секундах, а частота   — в 1/сек.

Из уравнения (40.14) легко можно установить величины   (см. рис. 18.14) наибольших и наименьших прогибов (перемещений) системы в месте приложения груза Р, соответствующих значениям 

(43.14)

Наибольший прогиб (перемещение) А (от положения статического равновесия) называется амплитудой колебаний.

Если в системе координат  , t по оси абсцисс откладывать время t, а по оси ординат — прогибы (перемещения)   груза Р, то построенный в соответствии с уравнением (40.14) график   (график колебаний) будет иметь вид, изображенный на рис. 19.14.

Рис. 19.14

На этом графике показаны амплитуды колебаний А и период колебаний Т.

Выражения скоростей v и ускорений а груза Р имеют вид:

(44.14)

Составим выражение прогибов при колебаниях невесомой балки с грузом Р, прикрепленным к ней по середине (рис. 20.14, а), вызванных тем, что груз был оттянут вниз на величину с (от положения статического равновесия) и затем в момент времени   отпущен. Следовательно, при   прогиб   а скорость движения груза   В соответствии с этим по формулам (40! 14) и (44.14) при 

Из второго уравнения следует   (так как величины   не равны нулю); а из первого получаем

Таким образом, уравнение прогибов (40.14) для рассматриваемого случая имеет вид

(46.14)

График колебаний для рассматриваемого случая показан на рис. 20.14, б. Наибольший прогиб (от положения статического равновесия) Дтач равен с (при   и т. д.). Следовательно, амплитуда колебаний равна с.

Рис. 20.14

Частота со колебаний балки в выражении (46.14) [см. формулу (41.14)

где   — прогиб балки под грузом от силы   равный 

Наибольший полный прогиб балки под грузом

Определим теперь наибольшие полные нормальные напряжения, возникающие в рассматриваемой балке при колебаниях. Очевидно, что наибольшие напряжения возникают в тот момент времени, когда балка под грузом имеет наибольший прогиб  . В этот момент на балку действует сила   где   представляет собой наибольшее значение силы инерции Р, - груза Р, равное [на основании выражения (37.14)]

Следовательно,

Наибольший изгибающий момент действует в сечении посередине балки:

Следовательно, наибольшие полные нормальные напряжения в балке

где   - момент сопротивления поперечного сечения балки.

Рассмотрим теперь колебания невесомой системы с прикрепленным к ней грузом Р, вызванные действием внешней возмущающей силы 5 (рис. 21.14), т. е. вынужденные колебания системы. Предположим, что внешняя сила приложена к системе в том же сечении, в котором прикреплен груз Р, и что величина ее изменяется по периодическому закону

(47.14)

где S — наибольшее значение возмущающей силы;   — частота этой силы (круговая частота), равная числу циклов за  сек.

Рис. 21.14

Прогиб А системы (от положения статического равновесия) в любой момент времени является результатом действия на нее силы инерции   и возмущающей силы 

откуда

С другой стороны, на основании формулы (38.14)

и, следовательно,

откуда

(48.14)

где   - частота свободных колебаний системы [см. формулу (41.14)].

Уравнение (48.14) представляет собой дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

(49.14)

Уравнение (49.14) называется уравнением вынужденных колебаний системы.

Рис. 22.14.

Первый член правой части формулы (49.14) определяет свободные колебания системы, а второй — характеризует вынужденные колебания. Вынужденные колебания имеют ту же частоту, что и возмущающая сила. Амплитуда свободных колебаний равна А, а амплитуда   вынужденных колебаний равна наибольшему значению выражения

т. е.

Но

следовательно,

или

(51.14)

здесь   — статический прогиб системы по направлению силы S от действия этой силы;   - динамический коэффициент, равный

(52.14)

Для определения динамических напряжений в упругой системе, вызванных ее вынужденными колебаниями, следует найти напряжения от статически действующей силы S и умножить их на динамический коэффициент. Прибавив к динамическим напряжениям напряжения от статически действующей силы Р, получим значения полных напряжений в упругой системе.

Рассмотрим невесомую балку, к которой прикреплен двигатель весом Р (рис. 22.14). Балка под действием этого груза находится в состоянии статического равновесия. В некоторый момент времени включается двигатель, имеющий неуравновешенную массу , вращающуюся с угловой скоростью   (или, что то же самое, с частотой  ) по окружности радиусом   (рис. 22.14).

В результате этого на балку действует возмущающая сила  , равная [см. формулу (5.14)]

Ее вертикальная составляющая, вызывающая изгиб балки, равна   где а — угол между направлением силы 5 и вертикалью в момент времени t. Если неуравновешенная масса при включении двигателя занимает крайнее нижнее положение, то угол а в момент времени t равен   и, следовательно,   т. е. возмущающая сила, вызывающая изгиб балки, изменяется по формуле (47.14).

Принимая момент включения двигателя за начало отсчета времени, получаем, что при   прогиб балки (дополнительный к статическому прогибу от груза Р)   и скорость перемещения груза   — Тогда на основании формулы (49.14) при  откуда

откуда   и, следовательно,

Подставим значения А и В в формулу 

где   — вынужденные колебания балки, а   - свободные колебания.

В данном случае   т. е. амплитуды свободных и вынужденных колебаний в рассматриваемом случае равны друг другу. В других случаях (например, когда в момент пуска двигателя, т. е. при   балка в сечении под грузом Р оттянута вниз на некоторую величину) соотношения между этими амплитудами могут быть иными. Однако в любом случае амплитуда собственных (свободных) колебаний при наличии возмущающей нагрузки зависит от величины и частоты этой нагрузки.

На рис. 23.14, а изображен график вынужденных колебаний рассматриваемой балки; здесь по оси абсцисс отложено время  а по оси ординат — значения перемещений:

где   — амплитуда вынужденных колебаний балки (точки оси балки, расположенной под грузом Р).

(см. скан)

Рис. 23.14

На рис. 23.14, б изображен график свободных колебаний балки, по оси абсцисс которого отложено (в том же масштабе, что и на рис. 23.14, а) время   а по оси ординат — значения перемещений   При этом принято   [частота свободных колебаний со определяется по формуле (41.14)].

На рис. 23.14, в дан график общих колебаний рассматриваемой балки, показывающий изменение прогибов А в зависимости от времени t. Его ординаты в соответствии с выражением (54.14) равны разностям ординат   изображенных на рис. 23.14, а, б. На этом графике видно, что амплитуды колебаний периодически нарастают и убывают. Такое явление называется биением.

Ложно показать, что кривые, проведенные на рис. 23.14, в пунктиром, огибающие график общих колебаний рассматриваемой балки, представляют собой синусоиды, ординаты которых равны   Следовательно, наибольшая возможная амплитуда общих колебаний   равна   амплитуда общих колебаний не может быть больше суммы амплитуд вынужденных и свободных колебаний.

Из выражения (51.14) следует, что амплитуда вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы равна прогибу  умноженному на динамический коэффициент   Величина последнего, как это следует из формулы (52.14), зависит от отношения Ф/со — частоты   возмущающей силы к частоте со собственных колебаний системы.

На рис. 24.14 графически показана зависимость величины динамического коэффициента от соотношения частот   На этом рисунке видно, что, когда частота   мала по сравнению с частотой о (например, не превышает  ), динамический коэффициент примерно равен единице (не превышает 1,1). При увеличении частоты   величина динамического коэффициента возрастает; особенно резкое возрастание происходит, когда отношение   приближается к единице. При  динамический коэффициент равен бесконечности. Следовательно, когда величина частоты   возмущающей силы приближается к значению со частоты собственных колебаний системы, амплитуды колебаний начинают неограниченно возрастать. Этот случай, называемый резонансом, представляет особую опасность для сооружения.

При частоте   возмущающей силы, превышающей собственную частоту со, динамический коэффициент отрицателен. Это означает, что знак возмущающей силы в каждый момент времени противоположен знаку перемещения; например, в момент, когда сила   положительна, т. е. направлена вниз, прогиб сечения, в котором она приложена, отрицателен, т. е. направлен вверх.

В этом случае величина амплитуды вынужденных колебаний определяется путем умножения абсолютного значения динамического коэффициента на   При весьма большой частоте   возмущающей нагрузки (по сравнению с частотой  ) динамический коэффициент очень мал (близок к нулю); в этом случае возмущающая сила практически не вызывает колебаний системы.

Рис. 24.14

Выше при рассмотрении колебаний не учитывались сопротивление среды, в которой совершаются колебания (например, сопротивление воздуха), трение в опорных частях системы, внутреннее сопротивление, связанное с тем, что материал не обладает идеальной упругостью, и другие сопротивления. Решения, полученные без учета сопротивлений, являются приближенными.

Наличие сопротивлений приводит к постепенному уменьшению амплитуды собственных (свободных) колебаний системы — колебания постепенно затухают. Период собственных колебаний при наличии сопротивлений больше, а частота колебаний   меньше, нем при отсутствии сопротивлений.

На рис. 25.14 графически показаны свободные колебания при наличии и при отсутствии сопротивлений. При наличии сопротивлений после некоторого промежутка времени собственные колебания полностью затухают и система останавливается в положении статического равновесия.

При весьма больших сопротивлениях (например, при колебаниях в вязкой жидкости) движение системы, выведенной из состояния равновесия, вообще не носит колебательного характера; система в этом случае плавно возвращается в состояние статического равновесия.

При действии на систему периодической возмущающей нагрузки вызванные ею собственные колебания через некоторое время в связи с наличием сопротивлений прекращаются и система в дальнейшем испытывает только вынужденные колебания. Амплитуду   этих колебаний при наличии сопротивлений (так же как и при отсутствии сопротивлений) можно выразить формулой (51.14), однако в этом случае динамический коэффициент отличается от определяемого по формуле (52.14).

Рис. 25.14

Обычно силы сопротивления R, действующие на систему в каждый момент времени, принимаются прямо пропорциональными скорости перемещения системы (при колебаниях) в этот момент, т. е.

(55.14)

где   — коэффициент пропорциональности [выражается в кгс•сек/см]. Знак минус указывает на то, что сила сопротивления направлена обратно скорости перемещения.

При силах сопротивления, определяемых формулой (55.14), динамический коэффициент

(56.14)

Здесь   — частота возмущающей нагрузки (силы); со — частота собственных колебаний системы (при отсутствии сопротивлений); Р — вес колеблющегося груза; g — ускорение силы тяжести.

Рис. 26.14

На рис. 26.14 для различных значений   по формуле (56.14) построены кривые, выражающие зависимость   от отношения частот   Кривая для случая   т. е. для случая отсутствия сопротивлений, совпадает с кривой, приведенной на рис. 24.14, так как при отсутствии сопротивлений (т. е. при  ) формула (56.14) переходит в формулу (52.14). Остальные кривые имеют такой же характер, но их ординаты при резонансе (т. е. при   не равны бесконечности, а имеют конечные значения, равные   При частоте   возмущающей нагрузки, значительно (например, в два раза и более) отличающейся от частоты со, величина   практически не зависит от наличия сопротивлений.

Рис. 27.14

При расчете сооружений, находящихся под действием периодически изменяющихся возмущающих сил, основной задачей в большинстве случаев является так называемая отстройка от резонанса, т. е. обеспечение достаточного различия между частотой  собственных колебаний и частотой   возмущающей нагрузки.

Обычно исходят из требования, чтобы  . В некоторых машинах допускают  , т. е. машины в процессе разгона проходят через резонанс.

Расчет сооружения на вынужденные колебания, по существу, является его расчетом на жесткость, так как частота со собственных колебаний системы зависит от ее жесткости.

Любое сооружение является системой с бесконечно большим числом степеней свободы, так как его распределенный вес представляет собой бесчисленное множество бесконечно малых сосредоточенных сил. Однако приближенный расчет сооружения, даже в случае, когда нельзя пренебречь его весом, можно выполнить как расчет системы с одной степенью свободы. Для этого вес Q сооружения, распределенный по его длине, заменяют весом PQ, сосредоточенным в некоторой точке. При вынужденных колебаниях эта точка принимается совпадающей с местом приложения возмущающей нагрузки.

При расчете простой балки на двух опорах на собственные колебания сосредоточенный вес PQ принимается расположенным в середине пролета, а при расчете консолина свободном ее конце (рис. 27.14). Коэффициент   определяется по формуле (28.14); примеры такого определения приведены в конце § 3.14.

66. порядок динамического расчета при колебаниях систем с несколькими степенями свободы.

Теория свободных колебаний систем с несколькими (s) степенями свободы строится аналогично тому, как было рассмотрено в одномерных колебаниях.

Пусть потенциальная энергия системы U как функция обобщенных координат qi (i = 1, 2, .,., s) имеет минимум при qi=qi0. Вводя малые смещения

xi = qi – qi0 (3,1)

и разлагая по ним U с точностью до членов второго порядка, получим потенциальную энергию в виде положительно определенной квадратичной формы

(3, 2)

где мы снова отсчитываем потенциальную энергию от ее минимального значения. Поскольку коэффициенты kik и kki входят в (3, 2) умноженными на одну и ту же величину xi xk, то ясно, что их можно всегда считать симметричными по своим индексам

В кинетической же энергии, которая имеет в общем случае вид

полагаем в коэффициентах qi = qi0 и, обозначая постоянные aik(qo) посредством mik , получаем ее в виде положительно определенной квадратичной формы

(3,3)

Коэффициенты m_lk тоже можно всегда считать симметричными по индексам

mik = mki

Таким образом, лагранжева функция системы, совершающей свободные малые колебания:

(3, 4)

Составим теперь уравнения движения. Для определения входящих в них производных напишем полный дифференциал функции Лагранжа

Поскольку величина суммы не зависит, разумеется, от обозначения индексов суммирования, меняем в первом и третьем членах в скобках i на k, a k на i; учитывая при этом симметричность коэффициентов mik и kik, получим:

Отсюда видно, что

Поэтому уравнения Лагранжа

(3,5)

Они представляют собой систему s(i = l, 2, … , s) линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

По общим правилам решения таких уравнений ищем s неизвестных функций xk(t) в виде

(3,6)

где Аk — некоторые, пока неопределенные, постоянные. Подставляя (3,6) в систему (3,5), получаем по сокращении на систему линейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять постоянные Аk:

(3,7)

Для того чтобы эта система имела отличные от нуля решения, должен обращаться в нуль ее определитель

(3,8)

Уравнение (3,8)—так называемое характеристическое уравнение — представляет собой уравнение степени s относительно ω². Оно имеет в общем случае s различных вещественных положительных корней ω²a,

а=1, 2, … , s (в частных случаях некоторые из этих корней могут совпадать). Определенные таким образом величины ω_а называются собственными частотами системы.

Вещественность и положительность корней уравнения (3,8) заранее очевидны уже из физических соображений. Действительно, наличие у ω мнимой части означало бы наличие во временной зависимости координат хk (3,6) (а с ними и скоростей x_k) экспоненциально убывающего или экспоненциально возрастающего множителя. Но наличие такого множителя в данном случае недопустимо, так как оно привело бы к изменению со временем полной энергии E=U+T системы в противоречии с законом ее сохранения.

В том же самом можно убедиться и чисто математическим путем. Умножив уравнение (3,7) на и просуммировав затем по i, получим:

откуда

Квадратичные формы в числителе и знаменателе этого выражения вещественны в силу вещественности и симметричности коэффициентов kik и mik , действительно,

Они также существенно положительны, а потому положительно и ω².

После того как частоты ω_а найдены, подставляя каждое из них в уравнения (3,7), можно найти соответствующие значения коэффициентов Аk. Если все корни ω_а характеристического уравнения различны, то, как известно, коэффициенты Ak пропорциональны минорам определителя (3,8),в котором ω заменена соответствующим значением ω_а, обозначим эти миноры через ∆ka. Частное решение системы дифференциальных уравнений (3,5) имеет, следовательно, вид

где С_а— произвольная (комплексная) постоянная.

Общее же решение дается суммой всех s частных решений. Переходя к вещественной части, напишем его в виде

(3,9)

Где мы ввели обозначение

(3,10)

Таким образом, изменение каждой из координат системы со временем представляет собой наложение s простых периодических колебаний

Θ1, Θ2, … , Θs с произвольными амплитудами и фазами, но имеющих вполне определенные частоты.

Естественно возникает вопрос, нельзя ли выбрать обобщенные координаты таким образом, чтобы каждая из них совершала только одно простое колебание? Самая форма общего интеграла (3,9) указывает путь к решению этой задачи.

В самом деле, рассматривая s соотношений (3,9) как систему уравнений с s неизвестными величинами Θ_а, мы можем, разрешив эту систему, выразить величины Θ1, Θ2, …, Θs через координаты x1, x2, ..., x_s. Следовательно, величины Θ_а можно рассматривать как новые обобщенные координаты. Эти координаты называют нормальными (или главными), а совершаемые ими простые периодические колебания — нормальными колебаниями системы.

Нормальные координаты Θ_а удовлетворяют, как это явствует из их определения, уравнениям

(3,11)

Это значит, что в нормальных координатах уравнения движения распадаются на s независимых друг от друга уравнений. Ускорение каждой нормальной координаты зависит только от значения этой же координаты, и для полного определения ее временной зависимости надо знать начальные значения только ее же самой и соответствующей ей скорости. Другими словами, нормальные колебания системы полностью независимы.

Из сказанного очевидно, что функция Лагранжа, выраженная через нормальные координаты, распадается на сумму выражений, каждое из которых соответствует одномерному колебанию с одной из частот ω_а, т. е. имеет вид

(3,12)

где т_а — положительные постоянные. С математической точки зрения это означает, что преобразованием (3,9) обе квадратичные формы — кинетическая энергия (3,3) и потенциальная (3,2) — одновременно приводятся к диагональному виду.

Обычно нормальные координаты выбирают таким образом, чтобы коэффициенты при квадратах скоростей в функции Лагранжа были равны 1/2. Для этого достаточно определить нормальные координаты (обозначим их теперь Q_a ) равенствами

(3.13)

Тогда

Все изложенное мало меняется в случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни. Общий вид (3,9), (3,10) интеграла уравнений движений остается таким же (с тем же числом s членов) с той лишь разницей, что соответствующие кратным частотам коэффициенты ∆k_а уже не являются минорами определителя, которые, как известно, обращаются в этом случае в нуль.

Каждой кратной (или, как говорят, вырожденной) частоте отвечает столько различных нормальных координат, какова степень кратности, но выбор этих нормальных координат не однозначен. Поскольку в кинетическую и потенциальную энергии нормальные координаты (с одинаковым ω_а) входят в виде одинаково преобразующихся сумм можно подвергнуть любому линейному преобразованию, оставляющему инвариантной сумму квадратов.

Весьма просто нахождение нормальных координат для трехмерных колебаний одной материальной точки, находящейся в постоянном внешнем поле. Помещая начало декартовой системы координат в точку минимума потенциальной энергии U(x,y,z), мы получим последнюю в виде квадратичной формы переменных х, у, z, а кинетическая энергия

(т — масса частиц) не зависит от выбора направления координатных осей.

Поэтому соответствующим поворотом осей надо только привести к диагональному виду потенциальную энергию. Тогда

(3,14)

и колебания вдоль осей х, у, z являются главными с частотами

В частном случае центрально-симметричного поля (k1=k2=k3=k, U=kr²/2) эти три частоты совпадают.

Использование нормальных координат дает возможность привести задачу о вынужденных колебаниях системы с несколькими степенями свободы к задачам об одномерных вынужденных колебаниях. Функция Лагранжа системы с учетом действующих на нее переменных внешних сил имеет вид

(3,15)

где L0 — лагранжева функция свободных колебаний. Вводя вместо координат хk нормальные координаты, получим:

(3.16)

где введено обозначение

Соответственно уравнения движения

будут содержать лишь по одной неизвестной функции Qa(t).

67. основные методы борьбы с вибрациями.

Целесообразная расстановка машин и оборудования.

Изменение жесткости конструкции.

Изменение режима работы машин и оборудования.

Применение виброгасителей.