1. Сущность метода перемещений

В методе сил за лишние неизвестные принимались усилия в «лишних» связях (силы и моменты). Определив значения «лишних» неизвестных, можно найти внутренние усилия M, Q и N в любых сечениях, а также перемещения (линейные и угловые) любой точки конструкции. В стержневой системе с учетом принятых ранее допущений и гипотез, заданной нагрузке однозначно отвечают перемещения – вспомним гипотезу о линейной связи нагрузки и перемещений.

Сформулируем следующую проблему: можно ли найти внутренние усилия по соответствующим им перемещениям и, разумеется, известной внешней нагрузке? Эта проблема обратна уже имеющемуся решению – по заданной внешней нагрузке и найденным внутренним усилиям найти перемещение искомого сечения.

Р

2

ассмотрим статически неопределимую раму (рис. 1) под действием внешней нагрузки и попытаемся установить, какие перемещения следует знать, чтобы однозначно по ним найти внутренние усилия.

Очевидно, что внешняя нагрузка вызовет изгиб и сжатие-растяжение стержней, а также повороты жестких узлов и их линейные перемещения. Если пренебречь изменением длины стержней в результате изгиба и растяжения-сжатия, то линейные смещения концов стержня будут одинаковы. Угловые перемещения концов стержней, входящих в одни жесткий узел (жестко соединенных друг с другом) также будут одинаковы. Следовательно, в незагруженных внешней нагрузкой стержнях внутренние усилия возникают в результате угловых и линейных перемещений их концов. В загруженных внешней нагрузкой стержнях к внутренним усилиям от смещения концов стержней добавляются усилия от заданной нагрузки. Когда рассматриваем расчет стержней на заданную нагрузку, то перемещения концов стержней в этом случае отсутствуют – стержни являются кинематически определимыми. Сказанное позволяет разбить задачу о расчете статически неопределимой (да и статически определимой) стержневой системы на два этапа:

1. Расчет на заданную нагрузку в предположении, что концы стержней не смещаются, т.е. расчеткинематически определимой рамы.

2. Расчет на действие, нам неизвестных, угловых и линейных перемещений концов стержней при отсутствии внешней нагрузки. Следовательно, угловые и линейные перемещения концов стержней следует принять за неизвестные.

С точки зрения неизвестных перемещений приведенная на рис. 1 рама будет трижды неопределима, или, как принято говорить – трижды кинематически неопределима, так как требуется найти угловые перемещения узлов 1 и 2, а также их линейное смещение, которое одинаково у них, так как они связаны стержнем, изменением длины которого пренебрегаем.

Итак, степень кинематической неопределимости находим по формуле:

H = n_y + n_л, где

n_y – число жестких узлов в стержневой системе;

n_л – число возможных независимых линейных смещений концов стержней.

При определении числа основных неизвестных методом перемещений используют следующие допущения:

1) концы стержней, сходящихся в одном жёстком узле, поворачиваются на один и тот же угол;

2) углы поворота, ввиду их малости, принимаются равными их тангенсам;

3) не учитывается влияние N и Q на перемещения узлов;

4) расстояния между узлами при деформации изгиба прямых стержней не изменяются.

45. степень кинематической неопределимости системы

Определение степени кинематической неопределимости:

m = m_y+m_n

m – степень кинематической неопределимости.

m_{y -} число угловых перемешений; оно равно числу жестких узлов.

m_n – число независимых перемещений, жестких узлов.

46. основная система метода перемещений.

Она получается из заданной системы путем введения в жесткие узлы, дополнительные связи 2-х типов.

плавающая заделка. Она препятствует только угловому перемещению, и не препятствует линейному перемещению.

опорный стержень. Препядствует только линейным перемещениям.

В результате ведения дополнительных связей система распадается на ряд самостоятельных однопролетных балок.

Для таких балок есть решение в таблице.

47. каноническое уравнение метода перемещений. Их физические свойства и особенности.

Число уравнений = числу введенных заделок и опорных частей.

r_ij – усилие от единичного переиещения.

– усилие от внешних нагрузок.

48. статический способ определения коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений.

Для определения коэффициентов и свободных членов канонических уравнений необходимо предварительно построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от единичных неизвестных перемещений узлов системы и от внешней нагрузки, используя таблицы реакций (приложение).

Элементами основной системы в методе перемещений являются статически неопределимые балки. Поэтому построение единичных и грузовых эпюр в основной системе метода перемещений сводится к определению усилий в однопролётных статически неопределимых балках от перемещений их концов и от нагрузки.

После построения единичных и грузовых эпюр изгибающих моментов в основной системе вычисляют коэффициенты r_ik и свободные члены R_i0канонических уравнений.

Существуют два способа определения коэффициентов:

1) статический;

2) перемножения эпюр.

Статический способ является основным в методе перемещений. Этот способ основан на использовании уравнений равновесия для определения реакций во введённых связях, которые и являются искомыми коэффициентами при неизвестных и свободными членами канонических уравнений.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введённых плавающих заделках, определяют из условий равновесия вырезанных из основной системы узлов в виде Σm = 0.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные усилия во введённых стержневых связях, определяют из условий равновесия отсечённой части основой системы, содержащей эти связи.

Реактивное усилие считается положительным, если направление его действия совпадает с принятым направлением поворота или линейного смещения узла.

49. определение коэффициентов и свободных членов системы уравнений перемножением эпюр.

Способ перемножения эпюр целесообразно применять при расчёте рам с наклонными стойками, когда использование статического способа усложняется. Коэффициенты при неизвестных в этом способе определяют путём интегрирования (перемножения) соответствующих эпюр:

,

где  _i,  _k – эпюры от единичных перемещений введённых связей, построенные в основной системе метода перемещений.

Свободные члены канонических уравнений определяют по формуле

,

где   – эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенная в любой статически определимой системе, образованной из заданной (т. е. в основной системе метода сил).

Следует заметить, что способ перемножения эпюр может быть применён в качестве контроля правильности вычисления коэффициентов и свободных членов канонических уравнений, полученных статическим способом.

50. проверка коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений.

Проверка правильности вычисления коэффициентов системы канонических уравнений метода перемещений выполняется аналогично проверке коэффициентов уравнений при расчете конструкций методом сил (см. § 7.5). Для этого строится эпюра  в основной системе алгебраическим суммированием всех единичных эпюр;

Умножив эту эпюру последовательно на каждую из единичных эпюр, получим сумму коэффициентов при неизвестных в соответствующем уравнении.

Так, умножив эпюру   на эпюру   найдем

Аналогично,   и т. д.

Следовательно, сумма коэффициентов при неизвестных   уравнения должна равняться значению  , где

Таким образом, проверка вычисленных значений единичных реакций, входящих в первое каноническое уравнение метода перемещений, состоит в сопоставлении их суммы с величиной  :

Аналогично проверяются и коэффициенты (единичные реакции) всех остальных уравнений.

Такая проверка называется построчной (каждое уравнение - горизонтальная строка — проверяется отдельно).

Возможна и другая проверка.

Умножив эпюру   на   получим

Здесь в первой скобке выписаны все главные реакции, во второй — все реакции, расположенные по одну сторону от главной диагонали.

Итак, результат умножения эпюры   на эту же эпюру должен равняться сумме всех коэффициентов при неизвестных в системе канонических уравнений — универсальная проверка, т. е.

где

Проверка грузовых коэффициентов сводится к вычислению

умножением эпюры   от нагрузки в статически определимой системе (полученной из заданной системы или основной системы метода перемещений устранением лишних связей, в том числе обязательно тех, реакции в которых определяются) на эпюру   Результат перемножения должен равняться сумме всех грузовых коэффициентов в системе уравнений:

51. построение эпюр M , Q , N методом перемещений и их проверки.

Расчетную эпюру изгибающих моментов от внешней нагрузки строят по формуле

М_расч = М₀ +  ₁ · z₁ +  ₂ · z₂ + … +  _n · z_n,

где М₀ – эпюра изгибающих моментов в основной системе метода перемещений от нагрузки;  ₁,  ₂, …  _n – эпюры изгибающих моментов в основной системе от единичных перемещений введённых связей; z₁, z₂, … z_n – найденные значения перемещений узлов.

Для контроля расчётной эпюры изгибающих моментов служат:

1) статическая проверка – заключается в проверке условий равновесия узлов системы;

2) деформационная проверка:

,

где   – эпюра изгибающих моментов, построенная в основной системе метода сил от действия любого i-го неизвестного метода сил, равного единице.