6.1.2. Степень статической неопределимости

 

Разность между числом неизвестных, необходимых для расчёта заданного сооружения, и числом независимых уравнений равновесия, составленных для решения задачи, называется степенью статической неопределимости сооружения. Другими словами, эта разность определяет количество лишних связей в заданной расчётной схеме сооружения, усилия в которых требуется определить, не прибегая к уравнениям равновесия.

Степень статической неопределимости можно вычислить, преобразуя заданную статически неопределимую систему в статически определимую и параллельно подсчитывая число удалённых связей. Такой подход является наиболее общим

6.1.3. Методы расчёта статически неопределимых систем

 

В строительной механике различают следующие три основных классиче­ских метода расчета статически неопределимых систем: метод сил, метод перемещений и метод конечных элементов.

При расчете по методу сил основными искомыми величи­нами являются усилия в лишних связях. Знание усилий в лишних связях позволит по методу сечений выполнять полный расчет по определению усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов заданной системы.

При расчете по методу перемещений основными искомы­ми величинами являются перемещения узловых точек, вызванные деформацией системы. Знание этих перемещений необходимо и достаточно для определения всех внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов, заданной системы.

При расчете по методу конечных элементов система разбивается на простые конечные элементы и по матрице жесткости элемента и системы в целом устанавливается связь между перемещениями узлов элемента и системы и усилиями в них.

Кроме указанной классификации, методы расчета статически неопределимых систем можно расчленить по степени их точности, по области работы материала сооружений, по особенностям расчетных операций и т.д.

По степени точности различают точные и приближенные методы расчета.

Точные методы базируются на обычных основных допущениях, принятых при расчете достаточно жестких сооружений (закон Гука, расчет по деформированной схеме, принцип сложения действия сил). Приближенные методы расчета, кроме обычных упрощений, используют дополнительные допущения, что обусловливает заметное отклонение от результатов точных методов расчета.

По области работы материала различают расчет сооружений в упругой стадии и расчет сооружений за пределом упругости. По особенностям расчетных операций методы расчета можно разделить на вычислительные и экспериментальные.   

35)степень статич неопределимости и определение количества неизвестных метода сил

РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

Понятие о статической неопределимости

Статически неопределимыми называются такие стержневые системы, для оценки напряжённо-деформированного состояния которых недостаточно трёх уравнений статики. Для того чтобы осуществить оценку напряжённо-деформированного состояния таких систем, необходимо составить дополнительные уравнения.

 По способу составления таких уравнений (что называется раскрытием статической неопределимости) в строительной механике разработано несколько методов. Одним из первых таких методов был разработан метод сил.

Статически неопределимые системы имеют так называемые «лишние» связи. «Лишними» могут быть как внешние, так и внутренние связи. По­этому различают как внешнюю, так и внутреннюю статическую неоп­редели­мость.

Число лишних связей определяет степень статической неопределимости системы:

Ш , (6.1)  n = 3К

где К – количество замкнутых контуров системы; Ш – число однократных шарниров.

Замкнутым считается такой контур, который полностью ограничен стержнями рамы или стержнями и землёй. Цифра 3 означает, что замкнутый контур является трижды статически неопределимой системой.

0 рассматриваемая стержневая система обладает «лишними» связями и поэтому является статически неопределимой и может быть использована в качестве сооружения. Так, для рамы, показанной на рис 6.1, K = 2; Ш = 4. система обладает необходимым минимумом связей, является статически определимой и при правильном расположении этих связей, не допускающих любой геометрической изменяемости системы, может быть использована в качестве сооружения. В случае n   0, это означает, что рассматриваемая стержневая система не обладает необходимым минимумом связей и поэтому не может быть использована в качестве сооружения. В случае n Выражение (6.1) является частным случаем выражения (1.1) и предназначено для определения статической неопределимости плоских рам. Если после определения степени статической неопределимости n

Подставляя эти данные в выражение (6.1), получим

4 = 2. (6.2)2  3  n

 

Из выражения (6.2) очевидно, что рама, изображённая на рис. 6.1, является дважды статически неопределимой системой.

Статически неопределимые системы обладают следующими свойст­вами:

1. В статически неопределимых системах, по сравнению со статически опреде­лимыми, при одной и той же нагрузке значения внутренних усилий получаются меньшими.

2. Статически неопределимые системы являются более жёсткими по сравне­нию со статически определимыми.

3. Разрушение «лишних» связей в статически неопределимых систе­мах не ведёт к разрушению всей системы.

4. В статически неопределимых системах температурные воз­дейст­вия и осадка опор вызывают появление дополнительных уси­лий в отли­чие от статически определимых систем.

36)основная и эвивалентная система метода сил

  Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной систе­мы. Для каждой статически неопределимой заданной системы (рис. 6.9, а) можно подобрать, как правило, различные основные системы (рис. 6.9, б, в), однако их должно объединять следующее условие  основная система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой (т.е. не должна менять свою гео­метрию без деформаций элементов).

Рис. 6.9

      Рассмотрим систему, которая дважды статически неопределима (рис. 6.10, а). Заменим в основной системе действие отброшенных связей неизвестными усилиями X₁ иX₂ (рис. 6.10, б). Принятая основная система будет работать также, как и заданная, если на нее наложить условие отсутствия вертикальных перемещений в точках A и B(т.е. в тех местах, где в заданной системе стоят опоры):

                    (6.9)

Рис. 6.10

      Уравнения (6.9) называютсяуравнениями совместности деформаций и при их выполнении фактически устанавливается условие эквивалентности между заданной и основной си­стемой при действии внешней силы Р и неиз­вестных усилий X₁ и X₂ . На основании принципа независимости действия сил (6.9) можно представить в следующем виде:

                     (6.10)

где y_A(P), y_B(P), y_A(X₁), y_B(X₁), y_A(X₂), y_B(X₂)  вертикальные пере­мещения точек А и Восновной системы соответственно от дейст­вия сил Р, Х₁, Х₂.

      Вводя обозначения ₁₁, ₁₂, _1P  вертикальные перемещения точки А основной системы, соответственно, от последовательного действия сил X₁ = 1, X₂ = 1, от внешней силы Р; ₂₁, ₂₂, _2P вертикальные перемещения точки B основной системы, соответст­венно, от последовательного действия сил X₁ = 1, X₂ = 1, от внеш­ней силы Р, и учитывая существование линейности связи между силой и перемещением, систему уравнений (6.3) можно преобразо­вать в канонической форме:

                         (6.11)

      Последние уравнения носят названия канонических урав­нений метода сил.

      Для вычисления коэффициентов при неизвестных X₁ и X₂ ис­пользуют формулу Мора:

, (i, j = 1,2).                        (6.12)

      Легко видеть, что  , это свойство называется законом парности коэффициентов при неизвестных. Свободные же коэффициенты определяются по формуле:

.                                    (6.13)

      После решения системы (6.11) определяются величины неизве­стных усилий X₁ и X₂ . Если их значения получились отрицатель­ными, это означает, что реально они действуют в направлении про­тивоположном принятому. Окончательная эпюра моментов опреде­ляется по зависимости

.                                  (6.14)

      Эпюра поперечных сил Q_OK может быть построена по эпюре моментов М_ОК с использованием зависимости   и величин приложенных к системе усилий.

37)каконические уравнения метода силих физ св-ва и особенности

Справедлива для любой расчётной схемы с любой степенью статической неопределимости; коэффициенты при неизвестных с одинаковыми индексами — главные коэф-ты податливости,они всегда положительны δ_ii > 0; остальные — побочные, для них выполняется теорема о взаимности возможных перемещений δ_ij = δ_ji; размерности коэф-ов при не известных легко определяются на основании их геометрического смысла, сформулированного ранее.

Любой коэф-т системы канонических уравнений есть возможное перемещение по направлению первой удалённой связи от действия единичной безразмерной силы, приложенной по направлению второй удалённой связи. Сумма перемещений по направлению удалённых связей от действия реакций в этих связях и внешнего воздействия равна нулю. м/кН; 1/кН; рад/кН; рад/(кН*м); м/(кН*м)

)определение коэф и свободных членов системы канонич ур.

Для определения коэффициентов и свободных членов канонических уравнений необходимо предварительно построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от единичных неизвестных перемещений узлов системы и от внешней нагрузки, используя таблицы реакций (приложение).

Элементами основной системы в методе перемещений являются статически неопределимые балки. Поэтому построение единичных и грузовых эпюр в основной системе метода перемещений сводится к определению усилий в однопролётных статически неопределимых балках от перемещений их концов и от нагрузки.

После построения единичных и грузовых эпюр изгибающих моментов в основной системе вычисляют коэффициенты r_ik и свободные члены R_i0канонических уравнений.

Существуют два способа определения коэффициентов:

1) статический;

2) перемножения эпюр.

Статический способ является основным в методе перемещений. Этот способ основан на использовании уравнений равновесия для определения реакций во введённых связях, которые и являются искомыми коэффициентами при неизвестных и свободными членами канонических уравнений.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введённых плавающих заделках, определяют из условий равновесия вырезанных из основной системы узлов в виде Σm = 0.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные усилия во введённых стержневых связях, определяют из условий равновесия отсечённой части основой системы, содержащей эти связи.

Реактивное усилие считается положительным, если направление его действия совпадает с принятым направлением поворота или линейного смещения узла.

Способ перемножения эпюр целесообразно применять при расчёте рам с наклонными стойками, когда использование статического способа усложняется. Коэффициенты при неизвестных в этом способе определяют путём интегрирования (перемножения) соответствующих эпюр:

,

где  _i,  _k – эпюры от единичных перемещений введённых связей, построенные в основной системе метода перемещений.

Свободные члены канонических уравнений определяют по формуле

,

где   – эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенная в любой статически определимой системе, образованной из заданной (т. е. в основной системе метода сил).

Следует заметить, что способ перемножения эпюр может быть применён в качестве контроля правильности вычисления коэффициентов и свободных членов канонических уравнений, полученных статическим способом.

Проверка правильности коэффициентов

При вычислении коэффициентов системы канонических уравнений возможны ошибки. Поэтому их надо проверять.

Существует три способа проверки коэффициентов.

1. Построчная проверка проводится для проверки всех коэффициентов одного уравнения.

Если сложить все коэффициенты при неизвестных i-го уравнения, то

= + + … + = + + … + =

= ( )= = .

40)порядок расчета статически неопределимых систем методом сил при действии внешних нагрузок

Алгоритм метода сил

Порядок расчета рамы методом сил состоит из следующих этапов:

1. Определение степени статической неопределимости.

2. Выбор основной системы.

3. Запись канонических уравнений.

4. Рассмотрение единичных и грузового состояний.

5. Построение единичных и грузовой эпюр.

6. Определение коэффициентов канонических уравнений.

7. Решение системы канонических уравнений.

8. Построение эпюр M, Q, N.

9. Проверка правильности расчета. Она состоит их двух частей:

1) статическая проверка состоит в проверке выполнения условий равновесия;

2) кинематическая проверка состоит в проверке всех условий =0 ( ) или общего условия =0.

Действительно,

А это выражение равно нулю, так как является i-ой строкой системы канонических уравнений. Отсюда следует, что , поскольку каждый из его сомножителей равняется нулю.

41!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

42

4343)использование симметрии в методе сил

Использование метода сил для расчета систем с высокой степенью статической неопределимости связано с решением совместной системы большого количества линейных уравнений. Даже самый экономичных метод решения таких систем – алгоритм  Гаусса – требует   вычислительных операций (где n – число уравнений, т.е. степень статической неопределимости системы), при условии, что все коэффициенты системы отличны от нуля. В связи с этим нужно стремиться так выбрать основную систему, чтобы возможно большее число побочных единичных перемещений  ,    и свободных членов   обратилось в ноль.

Основным средством для достижения этой цели является использование симметрии. Стержневая система является симметричной, если симметричны не только оси и опорные закрепления (геометрическая симметрия), но и жесткости (упругая симметрия). При этом внешняя нагрузка может быть и несимметричной.

При выборе основной системы лишние неизвестные следует выбирать в виде симметричных и обратно симметричных  усилий. Симметричные неизвестные создают симметричные эпюры моментов, а обратно симметричные неизвестные – кососимметричные эпюры. Такие эпюры обладают свойством взаимной ортогональности, т.е. результат их перемножения равен нулю:

                                                                                                      (14.18)

Ортогонализация эпюр может достигаться различными способами:

1) выбор симметричной основной системы; 2) выбор симметричных и обратносимметричных неизвестных; 3) группировка неизвестных; 4) устройство жестких консолей (способ упругого центра); 5) использование статически неопределимой основной системы; 6) разложение произвольной нагрузки на симметричную и обратносимметричную составляющие.

Рассмотрим раму, имеющую ось геометрической симметрии (рис.19, а). Заменим внешнюю нагрузку ей статически эквивалентной, такой, что она представляет сумму симметричной (рис.19, б) и кососимметричной (рис.19, в) нагрузок относительно оси геометрической симметрии.

                  

                               а)                                                     б)                                                           в)   

                                                                              Рис. 19

44) Сущность метода перемещения и основные допущения