29!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!6.2.3. Теорема о взаимности реакций

 

Задана любая статически неопределимая стержневая система, например, однопролётная балка, защемлённая на левом конце и шарнирно опёртая  на правом. В состоянии i этой балки угловой связи i заделки А зададим поворот по часовой стрелке на единицу (рис. 6.13,а), а в состоянии j – правой опорной связи j линейное перемещение вверх на единицу (рис. 6.13,б). Так как рассматриваемая система статически неопределима, то в её опорных связях, за исключением горизонтальной связи левой опоры А, от упомянутых выше кинематических воздействий возникнут реакции. Горизонтальная связь левой опоры А является абсолютно необходимой и в ней реакция от рассматриваемых смещений связей iи j будет равна нулю (Н_А = 0).

Рис.6.13

 

На рис. 6.13 в состояниях i и j показаны реакции в смещаемых связях, а именно: r_ii – реакция в i-й связи от её смещения на единицу, r_jj – реакция в j-й связи от собственного смещения на единицу, r_ij – реакция в i-й угловой связи от перемещения j-й линейной связи на единицу, r_ji – реакция в j-й линейной связи от перемещения i-й угловой связи на единицу. К состояниям i и j применим теорему о взаимности возможных работ внешних сил (см. соотношение (6.3)):

W_ext,ij = W_ext,ji.

В нашем случае:

W_ext,ij = r_ii  0 + r_ji  1,             W_ext,ji = r_jj  0 + r_ij  1,

r_ji  1 = r_ij  1,  или  r_ij = r_ji .                                                                    (6.5)

Работа реакций остальных связей заданного сооружения (на рис. 6.13 – реакция вертикальной связи левой опоры А), не получивших перемещений, в выражения для возможных работ W_ext,ij и W_ext,ji не войдёт.

Равенство (6.5) является математическим представлением теоремы о взаимности реакций: реакция r_ij в i-й связи от перемещения j-й связи на единицу равна реакции r_ji в j-й связи от смещения j-й связи на единицу.

Принцип взаимности реакций, вытекающей из теоремы Бетти как частный случай, справедлив не только для реакций опорных связей различного типа, но и для реакций внутренних связей (изгибающих моментов, поперечных и продольных сил).

Как и в теореме о взаимности перемещений (см. п. 6.2.2), в рассматриваемой здесь теореме о взаимности реакций речь идёт об удельных реакциях, т.е. реакциях, вызванных единичными смещениями связей. Размерность удельной реакции определяется как отношение размерности рассматриваемой реакции к размерности перемещения, вызвавшего эту реакцию. Для удельных реакций r_ij и r_ji, показанных на рис. 6.13, имеем:

[r_ij] = кНсм/см = кН,            [r_ji] = кН/рад = кН.

В строительной механике теорема о взаимности реакций известна как первая теорема английского физика Джона Рэлея (1842–1919). Она широко применяется в расчётах статически  неопределимых систем методом перемещений

Общая формула определения перемещения – формула Мора

Рассмотрим два состояния (рис. 1). Составим выражение работы W₂₁, то есть работы силы F₂ = 1 на перемещении Δ₂₁:

W₂₁ = F₂Δ₂₁ = Δ₂₁. (1) W₁₂ = W – W₁₁ – W₂₂, (2) где

(3)

M, N, Q – это моменты, нормальные и поперечные силы от суммарного действия сил F₁ и F₂, т.е.

M = M₁ + M₂, N =N₁ + N₂, Q= Q₁ + Q₂. (4)

Значения (4) подставляем в формулу (3), а результат и выражения для W₁₁ и W₂₂ – в формулу (2). В итоге получим

(5)

а с учетом равенства (1) имеем

(6) где черточки показывают, что эти значения возникают от единичных сил. Формулу (6) можно записать в общем виде:

(7)

Выражение (7) – это формула для определения перемещений в конкретном сечении конструкции или интеграл Мора (формула Мора).При расчете балок и рам учитывают влияние только изгибающих моментов M, а влиянием N и Q пренебрегают.

31)способ вычисления интегралов мора

Правило Верещагина

«Интеграл произведения двух функций, из которых одна линейная, а другая – произвольная, равен площади произвольной функции, умноженной на ординату из прямоугольной функции, лежащей под центром тяжести площади произвольной функции».

Например, имеем две эпюры моментов М_F и (рис. 2), тогда по формуле (7) получаем при использовании правила Верещагина:

(8)

Запишем еще три положения, вытекающие из правила Верещагина:

1. Ордината у_С должна быть взята из прямолинейной эпюры. Если обе эпюры – прямолинейные, то ординату у_С можно брать из любой.

2. Перемножаемые эпюры не должны иметь изломов. При их наличии эпюры необходимо перемножать по участкам.

3. Для перемножения двух прямолинейных эпюр (рис. 3) можно использовать формулу:

Формула Симпсона:

Общая формула: Рассмотрим определенный интеграл , где  – функция, непрерывная на отрезке [a;b].  Проведём разбиение отрезка  [a;b] на чётное количество равных отрезков. Чётное количество отрезков обозначают через 2n.

Разбиение имеет следующий вид:

Термины аналогичны терминам метода трапеций: Точки  называют узлами.

Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид: где:  – длина каждого из маленьких отрезков или шаг;  – значения подынтегральной функции в точках .

Детализируя это нагромождение, разберу формулу подробнее:  – сумма первого и последнего значения подынтегральной функции;  – сумма членов с чётными индексами умножается на 2;  – сумма членов с нечётными индексами умножается на 4.

Способ непосредственного интегрирования (нами не изучается), «перемножение» эпюр способом Верещагина, «перемножение» эпюр по формулам перемножения.

32)перемещение от изменения температуры в статически определимых системах

Определение перемещений от действия температуры

Интеграл Мора, как отмечалось в предыдущем подразделе, может быть представлен в следующем виде:

.  (5.33)

В выражении (5.33)  взаимный угол поворота торцевых сечений (рис. 5.19) элемента, имеющего бесконечно малую длину ds стержня от заданной внешней нагрузки;   взаимное смещение торцевых сечений ds;   взаимное смещение торцевых сечений вдоль оси, перпендикулярной оси элемента. В таком виде интеграл Мора может быть использован для определения перемещений не только от действия сил, но и от температуры. 

t2ds. На уровне нейтральной оси это удлинение, что очевидно из рис. 5.19, составит полусумму удлинений верхнего и нижнего волокон элемента ds. на t1ds , а нижнее  верхнее волокно удлинится на  t2 . Распределение температуры по высоте сечения принято по прямолинейному закону. При температурном коэффициенте линейного расширения  на t2. При этом t1 Пусть верхнее волокно элемента ds нагрето на t1, а нижнее

.  (5.34)

Выражение (5.34) соответствует тому состоянию элемента ds, при котором он по всей высоте сечения h получил равномерное изменение температуры. От неравномерного нагрева торцевые сечения элемента ds поворачиваются на угол

.  (5.35)

Деформация сдвига в элементе ds не возникает, т.е.   

Подставляя (5.34) и (5.35) в (5.33), получим интеграл Мора для определения температурных перемещений.

.  (5.36)

 

Интеграл Мора (5.34) значительно упрощается тогда, когда интегрирование ведётся для прямолинейных или ломаных стержней, имеющих по длине постоянное поперечное сечение. В этом случае интегралы могут быть определены, как площади единичных эпюр.

,  (5.37)

где   и     площади единичных эпюр   и  .

При поперечном сечении элемента, несимметричном относительно нейтральной оси, в формулах (5.34) и (5.35) во втором слагаемом множитель, связанный с температурой, принимает вид  расстояние от нижнего волокна до горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести. При этом необходимо помнить следующее правило знаков: если деформации элемента ds от температуры и от единичной силы одного знака, то соответствующие слагаемые в формулах (5.34) и (5.35) будут положительными, и соответственно наоборот., где у

33)перемещение от осадки опор и неточности изготовления элементов систем

Осадки опор могут быть случайными (просадки грунта, оползень, размыв грунта) при отсутствии нагрузки на сооружение или могут возникать под действием нагрузки в результате податливости основания.

Перемещения от случайных осадок опор

Пусть шарнирно подвижная опора рамы, изображенной на рис. 1, а, переместилась вертикально на величину Δ. Определим вертикальное перемещение точки k. Для этого создадим единичное состояние данной системы и в направлении искомого перемещения Δ_k приложим силу Р = 1 (рис. 1, б). Опорную реакцию, возникающую в том же опорном стержне, переместившемся вертикально на величину Δ, обозначим через R. Составим уравнение равновесия (рис. 1, б):

ΣМ_А= P·l – R·2l= 0, и находим опорную реакцию R = 1/2.

На основании теоремы о взаимности работ для двух состояний, показанных на рис. 1, а,б, составим условие: W₁₂ = W₂₁, или

0 = (PΔ_k–R Δ), откуда находим Δ_k = R Δ = Δ/2.

Работа сил первого состояния на перемещениях второго состояния W₁₂ = 0, так как сил в первом состоянии нет. Второе слагаемое правой части формулы Бетти взято с отрицательным знаком, так как направление силы R и перемещения Δ не совпадают.

При перемещениях опор статически определимого сооружения по направлениям опорных закреплений внутренние усилия в сооружении не возникают.

Таким образом, для определения перемещения или угла поворота, возникающего в статически определимом сооружении от смещения его опор в направлении опорных закреплений, необходимо:

1. выбрать единичное состояние сооружения, считая смещающуюся опору неподвижной,

2. загрузить сооружение в направлении искомого перемещения единичной силой или моментом,

3. определить реакции в тех опорных связях единичного состояния, которые по условию задачи смещаются,

4. составить выражение работы сил единичного состояния на перемещениях действительного и приравнять эту работу нулю,

5. решить полученное уравнение относительно искомого перемещения.

Перемещения от нагрузки, вызывающей упругие осадки

Пусть под действием нагрузки qтрехшарнирная рама получает равные вертикальные осадки опор Δ = V/k_o (рис. 4, а), гдеk_o – коэффициент оседания опоры (или жесткость упругого основания, Н/м, которая численно равна силе, вызывающей единичное смещение). Найдем вертикальное перемещение шарнираС, учитывая только влияние изгибающих моментов М_F (рис. 2, б). Приложим единичную силу Р = 1 в шарниреС по направлению искомого перемещения и строим единичную эпюру (рис. 2, в). Применим теорему о взаимности работ (W₁₂ = W₂₁):

34)понятия и свойства статически неопределимых систем.метод расчета