24. Вариационное исчисление. Классы допустимых функций.

Задачей вариационного исчисления (ВИ) является отыскание функций, доставляющих экстремум функционалам этих функций

Q = J[y(t)]

Функционал – переменная величина, такая, что каждой функции поставлено в соответствие число. Ф-л – функция, в которой роль независимой переменной выполняет функция. Т.о. задача нахождения функций от y₁(t) до y_n(t), которые давали бы экстремум ф-лу Q = J[y₁(t),…y_n(t)], составляет предмет изучения ВИ. Функция y_i(t) доставляющая ф-лу экстремальное значение называются экстремалями (минимальи, максимальи).

Классы допустимых функций. Говорят, что функция у(х) принадлежит классу с⁽ⁿ⁾ на сегменте ab, если она непрерывна и имеет непрерывную производные до порядка n на этом сегменте.

1. С⁰ – такой класс непрерывных функций, в котором все кривые близки друг к другу по ординате.

2. С¹ – класс непрерывных функций с непрерывными первыми производными. Это более узкий класс, чем С⁰: С¹ С⁰.

3. С² – класс непрерывных функций с непрерывными производными до 2-го порядка. С² С¹ С⁰.

Различают абсолютный и относительный экстремум. Если экстремум абсолютный, то необходимо проверить все возможные функции; если относительный - то только в каком-то одном классе.

25. Уравнение Эйлера для простейшего функционала. Условие Лежандра. Пример решения уравнения Эйлера.

Уравнение Эйлера.

Пусть задан функционал:

Необходимо среди всех кривых класса С’, проходящих через заданные точки:

Y(a)=A Y(b)=B

найти функцию, доставляющую экстремум функционалу.

Будем обозначать производные F по y - F по x -

Тогда: = =0

Мы получили главную линейную часть функционала, которая называется вариацией функционала. Эта главная линейная часть функционала при любых δY(x) должна оставаться = 0.

U V' ∫UV'dx=UV-∫VU'dx U=F_y’(x;y;y') => U'=

V'=δy' => V= δy =

ΔI=

Существует основная лемма вариационного исчисления – лемма Лагранжа: если Ф(x) – непрерывная функция, а h(x) – гладкая непрерывная функция, для которой справедливо h(a)=0 и h(b)=0 и , то Ф(x)=0 Тогда: ΔI= , где h(x)= δy, то – =0 -уравнение Эйлера. Это необходимое условие экстремума функционала.

Условие Лежандра:

Для того, чтобы Y(x) доставляло экстремум функционалу необходимо, чтобы кроме уравнения Эйлера выполнялось условие Лежандра, которое, кроме того, различает max и min:

F_y’y’>0 → min

F_y’y’<0 → max

Пример: найти Y(x), доставляющую экстремум функционалу и проходящую через точки:

Y(0)=0 Y(1)=1

F_y = 12 F_y' = 2y' 12x-2y''=0

y''=6x => y' = 3x² + C₁ => y = x³ + C₁x + C₂

y(0)=C₂=0

y(1)=1+C₁=1 => C₁=0 => y = x³ Fy’y’ = 2 > 0 => min

26. Уравнение Эйлера и условие Лежандра для функционала, зависящего от n функций и их первых производных.

Y₁(a)=A Y₁(b)=B

: :

Y_n(a)=A Y_n(b)=B

Составляется n уравнений Эйлера:

F y₁ – Fy₁’=0

:

Fy_n – Fy_n’=0

Из которых находим n функций. В этом случае условие Лежандра:

F y₁’ y₁’ ..... Fy₁’ y_n’

: : > 0 → min

F y_n’ y₁’..... Fy_n’ y_n’

F y₁’ y₁’ ..... Fy₁’ y_n’

: : < 0 → max

F y_n’ y₁’..... Fy_n’ y_n’