18. Линейное программирование, примеры постановок задач лп.

Это мат теория, изучающая методы решения линейных экстремальных задач

Ф-ия линейна относительно упраления

(1) Q= C₀ +C₁U₁+…..+ C_nU_n

a ₁₁U₁+a₁₂U₂+…+a_1nU_n=b₁

…………………………..

a_m1U₁+a_m2U₂+…+a_mnU_n≥b_m (2)

……………………………..

a_k1U₁+a_k2U₂+…+a_knU_n≤b_k

задача лп: найти значение управления от U₁; U_n достигающих экстремума линейной формы 1 при ограничениях 2, причем U_j≥a

Задача об использовании сырья.

Нужно изготовить продукцию Р₁ и Р_2, для изготовления которых нужны 4 вида сырья

S₁, S_2, S_3, S₄ запасы которых ограничены.

	Р1	Р2
S1	2	3
S2	2	1
S3	0	3
S4	3	0
доход	7	5

S₁ =19

S₂=13

S₃=15

S₄=18

Пусть мы выпустили Р_1, U₂- P_{2 ,} => ЦФ:

Q=7U₁+ 5U₂

Ограничения:

2U₁+3U₂≤19

2U₁+U₂≤13

3U₂≤15

3U₁≤18

аналогично задача о транспорте.

Удобно все многообразие задач лп свести к одной форме. Говорят, что задача лп записана в качественной форме, если она записана в следующем виде:

Q=C₁U₁+ C₂U₂ +…..+ C_nU_n

a ₁₁U₁+a₁₂U₂+…+a_1nU_n=b₁

…………………………..

a_m1U₁+a_m2U₂+…+a_mnU_n≥b_m

все ограничения типа равенство.

U_j≥0, m>n; m-n степеней свободы.

любую задачу можно свести к канонической(?) путем введения новых переменных

2 U₁+3U₂≤19

2U₁+U₂≤13 Q=7U₁+ 5U₂

3U₂≤15

3U₁≤18

U ₃=19-2U1-3U2≤19

U₄=13-2U₁-U₂ U₃ U₄U₅U₆ это базис (*)

U₅=5-3U₂

U₆=18-3U₁

Если задать свободные переменные U₁ и U₂ , остальные будут определены из уравнения связи и ЦФ примет какое-нибудь значение.

Набор, удовлетворяющий системе (*) называется решением.

Решение, оптимизирующее ЦФ, называется оптимальным.

Геометрическая интерпретация:

Построим область допустимых значений:

Построим линию, где U_j=0

19. Свойства задач лп:

1. т.к. уравнения связи линейны, область доп уравнений – выпуклый многоугольник или многогранник.

2. в вершинах многогранника ровно столько переменных обращается в ноль, сколько степеней свободы мы имеем

3. вершины, обращающиеся в ноль называются свободными, а не обращающиеся в ноль – базисными. Вершины называются базисами.

20. Симплекс-метод.

Это специальный метод оптимального целенаправленного перебора вершин, заключающийся в последовательном переходе от одной вершины области допустимых управлений до другой, в которой значение ЦФ лучше.

Геометрически:

1. Выбирают любую вершину многоугольника и проводят ЦФ (прямую). Решения, соответствующие вершине, будут опорными или базисными.

2. По ним находят направление к другой вершине, в которой ЦФ убывает или возрастает.

Порядок вычислений:

1. приводим систему ограничений к виду разрешенного относительно исходного базиса и выражаем ЦФ через небазисные переменные. Теперь, если в полученном выражении все коэфиценты C_i <0 при поиске мах или C_i >0 при поиске мin то базисное решение является оптимальным.

2. если коэфиценты C_i >0 (при поиске мах), то выбирается любоой из них (больши1 пред U_j ) и далее рассматривается столбец коэфицентов в правой части системы ограничений. Если все системы этого столбца полпжительны, то ЦФ стремится к бесконечности, задача решения не имеет. Если в столбце коэфицентов есть отрицательные, то для каждого из них находим b_kj/а_kj и выбираем среди них минимальное. Далее переходим к новому базису, исключая из старого базиса U_n+m и вводя U_j . Для этой цели уравнение, содержащее U_n+i (*) разрешаем относительно U_j и подставляем полученное выражение во все уравнения системы (2) и ЦФ. Далее возвращаемся к пункту 2.