34.Принцип максимума Понтрягина. Роль советских ученых в разработке пм.

Ставится задача оптимального управления процессом в динамике. Процесс описывается системой диф. уравнений:

Y =f (Y1…Yn, U1 ...Ur) (1)

и это есть ограничения с неголономной связью.

Yi-фазовые координаты

Uj- управление

Uj принадлежит классу кусочно-непрерывных функций и значения Uj принадлежат в каждый момент времени замкнутой области допустимых управлений.

Задан функционал:

J[y(t)]= F(Y1…Yn,U1…Ur)dt,

необходимо выбрать управление т.о. чтоб выполнялись условия (1), система перешла из начальной точки в конечную, и при этом функционал принял бы min значение.

Составляется функция Гамильтона:

H= ∑Ψi(t)t (Y1...Yn,U1...Ur)= Ψ0f0+Ψ1f1+...+Ψnfn

Здесь введены (n+2) новых неизвестных функций (Ψ0,f0).

Ψ и Y должны удовлетворять следующим равенствам:

Ψ = d Ψ/dt = -dH(Ψ0... Ψn,Y1...Yn,U1...Un)/dYi

Y =dH/dt =dH(Ψ0... Ψn,Y1...Yn,U1...Un)/dΨi

Эта система уравнений, когда Ψ и Y выражены через H называется канонической системой или системой Гамильтона.

Причем , Ψ =0,  =-1

35.Последовательность решения задач оптимального управления

1.Формируется функция H

2.Записывается гамильтоновская функция H= ∑Ψi(t)t (Y1...Yn,U1...Ur)= Ψ0f0+Ψ1f1+...+Ψnfn

3.Максимизируется функция H по управлению, т.е. находят U

4.Полученные U подставляют в гамильтоновскую систему:

Ψ = d Ψ/dt = -dH(Ψ0... Ψn,Y1...Yn,U1...Un)/dYi

Y =dH/dt =dH(Ψ0... Ψn,Y1...Yn,U1...Un)/dΨi

в результате решения которой получают y и Ψi

5.Полученные y и Ψi подставляют в U и получают оптимальные управления

36. Задача синтеза системы оптимального управления. Ее решение с помощью принципа максимума. Пример

В этой задаче требуется определить ка оптимальным способом перевести систему в заданную точку из любой точки фазового пространства, т.е. необходимо найти Uопт как функцию фазовых координат u=U(Y1…Yn), например, пусть какой-то аппарат стартует с Земли в направлении Луны, необходимо, чтобы он максимально быстро добрался туда и совершил легкую посадку (задача максимального взаимодействия).

M(d²y/dt²)=U(t)

Пренебрежем изменением массы m=1

U(t)- сила тяги U(t)1

запишем уравнение 1 через производные 1-го порядка.

У=У1

У₁=у₂

У₂=U(t)

У1 – пространственная координата У2 – скорость движения объекта

Пока эту задачу решать не будем, а решим задачу о максимальном быстродействии

₀=const H₀=1f1+2f2=1Y2+2U1

запишем сопряженную систему уравнений

(d1/dt)= -(dH/dy1=0)

(d2/dt)= -(H/y2)= - 1

принцип максимума утверждает, что оптимальное управление максимизирует функцию Н₀.

Н₀ мах, когда ₂U=мах U=1 2U>0? т.е. знак 2 совпадает с U sign2=signU

1=const=C1 ₂= -  2= -C1t+C2

C2>0 C1>0

C1<0 C2<0

Следующее управление либо сохраняет свой знак, либо может его изменить только 1 раз во время полета, т.е. оптимальное управление – это либо полная тяга, либо полнле торможение, и только 1 раз полная тяга сменяется полным торможением.

Когда это сделать?

Пусть U=+1

Y₁= (dY1/dt)=Y2

Y₂=(dY2/dt)=1

Разделим 1-е уравнение на 2-е

(dY1/dY2)=Y2

Y1=Y₂²/2 +C U= -1 Y1= - Y₂²/2+C

Пусть мы в точке А.

MN – линия переключения

V(Y₁,Y₂)= U= +1, если ниже линии переключения MN

U= -1, если выше MN