29. Баланс мощностей в цепях синусоидального тока. Баланс мощностей

Для схемы на рис.5.19 запишем уравнение по второму закону Кирхгофа. Умножим левую и правую части уравнения на сопряженный комплекс тока

  где     - результирующее реактивное сопротивление;      I²- квадрат модуля тока.

где     - полная комплексная, активная и реактивная мощности источника питания.

где  - активная и реактивная мощности, потребляемые элементами схемы.

Получим уравнение

. (5.24)

Рис. 5.19

Два комплексных числа равны, если равны по отдельности их вещественные и мнимые части, следовательно уравнение (6.24) распадается на два:

  .(5.25)

    Полученные равенства выражают законы сохранения активных и реактивных мощностей.

30. Согласованный режим работы электрической цепи. Согласование нагрузки с источником. Согласованный режим работы электрической цепи. Согласование нагрузки с источником

В схеме на рис. 6.20

 - полное, активное и реактивное сопротивления источника ЭДС,

   - полное, активное и реактивное сопротивления нагрузки. Активная мощность может выделяться только в активных сопротивлениях цепи переменного тока.

Активная мощность, выделяемая в нагрузке,

.(5.26)

Активная мощность, развиваемая генератором

. Коэффициент полезного действия для данной схемы:

    .

Рис. 5.20

Из формулы (5.26) видно, что выделяемая в нагрузке мощность будет максимальной, когда знаменатель минимален. Последнее имеет место при  , т.е. при  . Это означает, что реактивные сопротивления источника и нагрузки должны быть одинаковы по модулю и иметь разнородный характер. При индуктивном характере реактивного сопротивления источника реактивное сопротивление нагрузки должно быть емкостным и наоборот.

.(5.27)

   Установим условие,  при котором  от источника к нагрузке будет передаваться наибольшая мощность.

.

отсюда  .

От источника к нагрузке передается наибольшая мощность, когда

.  .(5.28)

Величина наибольшей мощности

.

   Режим передачи наибольшей мощности от источника к нагрузке называется согласованным режимом, а подбор сопротивлений согласно равенствам (6.28) - согласованием нагрузки с источником.

В согласованном режиме

.

Половина мощности теряется внутри источника. Поэтому согласованный режим не используется в силовых энергетических цепях. Этот режим используют в информационных цепях, где мощности могут быть малыми, и решающими являются не соображения экономичности передачи сигнала, а максимальная мощность сигнала в нагрузке.

31. Выражение синусоидальных напряжений и токов с помощью комплексных чисел. Комплексные сопротивление и проводимость.

Переменная синусоидальная величина обладает свойствами:

1. Переменная синусоидальная величина может быть однозначно представлена вектором. Длина вектора равна амплитуде; угол наклона равен начальному фазовому углу.

2. Сложение (и вычитание) синусоидальных величин можно заменить сложением (и вычитанием) векторов.

Кроме сложения и вычитания синусоидальные величины приходится умножать и делить. И здесь на помощь приходят комплексные числа.

Комплексное число может быть изображено на плоскости вектором, длина которого равна модулю комплексного числа, а угол наклона – аргументу. В электротехнике в отличие от математики мнимая единица обозначается буквой j. Если имеется комплексное число A=a+jb, то его можно представить вектором, где   – модуль комплексного числа;   – аргумент комплексного числа.

Комплексное число имеет три формы: алгебраическую – A=a+jb; тригонометрическую – ; показательную –  .

Комплексное число однозначно представлено вектором, а определенному вектору соответствует определенное комплексное число.

Таким образом, если переменная синусоидальная величина может быть представлена вектором, а определенному вектору соответствует определенное комплексное число, то переменная синусоидальная величина может быть представлена комплексным числом. Такие величины как: напряжение и ток, сопротивление и проводимость, мощность выражаются комплексными числами.

Напряжение и ток. Имеется уравнение  . В электротехнике за длину вектора берется не максимальное, а действующее значение. Оно обозначается большой буквой U без индекса и вычисляется путем деления максимального  значения на  .

Синусоидальная величина, выраженная комплексным числом, называется комплексом и обозначается прописной буквой с точкой наверху  . Комплекс напряжения можно написать в трех формах алгебраической –  , тригонометрической –  и показательной –  .

Таким образом, в комплексе напряжения модуль равен действующему значению, аргумент – начальному фазовому углу, активная составляющая – вещественной части комплекса напряжения, реактивная – мнимой части.

Аналогично для тока:  _{,  ,  ,  ,  .}

Пример. Дано: ток в комплексной форме   Написать уравнение тока.

Решение. Для того чтобы написать уравнение, надо знать амплитуду и начальный фазовый угол. Поэтому надо найти модуль – действующее значение и аргумент – начальный фазовый угол заданного комплекса тока:

,  ,  ,

.

Сопротивление и проводимость. Имеется цепь (рис. 1): r – активное сопротивление (лампа накаливания);   – индуктивное сопротивление (катушка); z – общее сопротивление цепи, называемое полным.

Рис.1 Рис.2

Сопротивления r,  , z образуют прямоугольный треугольник сопротивления  (рис. 2). Угол   – угол сдвига фаз. Сопротивления не являются синусоидальными величинами, однако отрезок z может быть выражен комплексным числом, считая, что отрезок r откладывается по оси вещественных чисел, а отрезок   – по оси мнимых чисел.

Сопротивление в комплексной форме обозначается буквой Z. Для цепи на рис.2 комплекс сопротивления записывается:   – алгебраическая форма;   – тригонометрическая форма;   – показательная форма.

Модуль  ; аргумент  . Таким образом, в комплексе сопротивления модуль равен полному сопротивлению, а аргумент – сдвигу фаз.

Мощность. Комплекс мощности получится, если комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока:  , где   – комплекс мощности,   – сопряженный комплекс тока.

После умножения получим комплексное число, у которого вещественная часть равна активной мощности, а мнимая часть – реактивной мощности:

, где P – активная мощность, Q – реактивная мощность.

Пример.  ,6;  . Определить активную P и реактивную Q мощность.

Решение. Переведем комплексы напряжения и тока в показательную форму, для этого найдем модуль и аргумент тока и напряжения:

,  ,  ,

,  ,  .

Определим сопряженный комплекс тока:  ,

Найдем активную и реактивную мощности: P=975Вт, Q=171 вар.