Метод Ньютона (касательных).

(также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727), под именем которого и обрёл свою известность.

Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиент в случае многомерного пространства.

Если   - начальное приближение корня уравнения f(x) = 0, то последовательные приближения находят по формуле:

Если f' и f'' непрерывны и сохраняют определенные знаки на отрезке  , а f(a)f(b) < 0 , то, исходя из начального приближения  , удовлетворяющего условию  ,можно вычислить с любой точностью единственный корень уравнения f(x) = 0.

Программа С#

static double f(double x)

{

return Math.Pow(x, 2) ;

}

static double f1(double x)

{

return 2 * x;

}

static void Main(string[] args)

{

double x0, E, P, x;

Console.WriteLine("введите x0");

x0 = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

Console.WriteLine("введите E");

E = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

do

{

x = x0;

P = Math.Abs(x - x0);

x =f(x) / f1(x);

}

while (P > E);

Console.WriteLine(x);

Console.ReadLine();

}

}

}

Метод секущих.

В отличие от метода Ньютона, можно заменить производную первой разделенной разностью, найденной по двум последним итерациям, т.е. заменить касательную секущей. При этом первый шаг итерационного процесса запишется так:

.

Для начала итерационного процесса необходимо задать x₀ и x₁, которые не обязательно ограничивают интервал, на котором функция должна менять знак; это могут быть любые две точки на кривой. Выход из итерационного процесса по условию .

С ходимость может быть немонотонной даже вблизи корня. При этом вблизи корня может происходить потеря точности, т.н. «разболтка решения», особенно значительная в случае кратных корней. От разболтки страхуются приемом Гарвика: выбирают некоторое ξ_x и ведут итерации до выполнения условия . Затем продолжают расчет, пока убывает. Первое же возрастание может свидетельствовать о начале разболтки, а значит, расчет следует прекратить, а последнюю итерацию не использовать.

Литература:

1 Н.Н. Калиткин-"Численные методы"

2 В.Пикулев -"методы компьютерных вычислений и их приложение к физическим задачам"

3 https://ru.wikipedia.org