Расчет прямозубых цилиндрических передач на прочность
Расчет на прочность прямозубых и косозубых цилиндрических передач стандартизован ГОСТ 21354-87. В курсе «Детали машин» изучают основы такого расчета. При этом вводят некоторые упрощения, которые мало влияют на результаты расчетов для большинства случаев практики.
Силы в зацеплении
- нормальная сила, направленная по линии
зацепления как общей нормали к рабочей
поверхности зубьев. Силы, действующие
в зацеплении, принято прикладывать в
полюсе зацепления. При этом силу
переносят в полюс и раскладывают на
окружную
и радиальную
.
Такое разложение удобно при расчете
валов и опор. По заданным T1
и d1=dw2
определяют
=
и через нее выражают все другие составляющие:
,
.
Рисунок 8 - Силы в зацеплении прямозубой цилиндрической передачи
Расчет прочности зубьев по контактным напряжениям.
Наименьшей контактной усталостью обладает околополюсная зона рабочей поверхности зубьев, где наблюдается однопарное зацепление. Поэтому расчет контактных напряжений принято выполнять при контакте в полюсе зацепления. Контакт зубьев можно рассматривать как контакт двух цилиндров с радиусами и .
Рисунок 9 - Расчет прямозубой цилиндрической передачи по контактным напряжениям
При этом контактные напряжения определяются по формуле:
Для прямозубых передач:
q=
.
Радиусы кривизны эвольвент зубьев в точке контакта:
=
,
=
,
,
где u=
, знак «+» - для наружного, а «-» - для
внутреннего зацепления.
Заменяя
,
и подставляя значения q
и ρпр,
получим:
.
(*)
Значения расчетных контактных напряжений
одинаковы для шестерни и колеса. Поэтому
расчет выполняют для того из колес пары,
у которого меньше допускаемое напряжение
(чаще это бывает колесо, а не шестерня).
Формулу (*) используют для проверочного расчета, когда все необходимые размеры и другие параметры передачи известны.
При проектном расчете необходимо
определить размеры передачи по заданным
основным характеристикам: крутящему
моменту
или
и передаточному числу u.
С этой целью формулу (*) решают относительно
или а. Другие неизвестные параметры
оценивают приближенно или выбирают по
рекомендациям на основе накопленного
опыта. Принимаем
;
;
При этом из составляющих коэффициента
остается только
.
зависит от скорости, а она пока неизвестна,
поэтому берут усредненное значение
Заменяем
=
/u;
и вводим
-
коэффициент ширины колеса относительно
межосевого расстояния. Решая относительно
межосевого расстояния a
и после преобразования, получим:
выбирают из рекомендаций в зависимости
от расположения колес относительно
опор с учетом твердости HB.
Полученное значение а округляем до стандартного значения.
Расчет прочности зубьев по напряжения изгиба
Зуб имеет сложное напряженное состояние. Наибольшие напряжения изгиба образуются у корня зуба в зоне перехода эвольвенты в галтель. Расчет носит приближенный характер. Вводят следующие допущения.
1) Вся нагрузка зацепления передается одной парой зубьев и приложена к вершине зуба
(справедливо для 7 и 8 степеней точности).
2) Зуб рассматриваем как консольную балку, для которой справедливы гипотеза плоских сечений или методы сопротивления материалов. Зуб подобен выступу, у которого размеры поперечного сечения соизмеримы с размерами высоты.
Рисунок 10 - Расчет зуба прямозубой цилиндрической передачи по напряжениям изгиба
Силу переносим по линии действия на ось симметрии зуба и раскладываем на составляющие и . Напряжение в опасном сечении, расположенном вблизи хорды основной окружности:
,
где W=
-
момент сопротивления сечения при изгибе;
А=
-
площадь сечения.
Знак «-» указывает, что напряжение берут на растянутой стороне зуба, так как обычно здесь возникают трещины.
Значения l и s неудобны для расчетов. Используя геометрическое подобие зубьев различного модуля, эти величины выражают через безразмерные коэффициенты:
и
,
где m - модуль зубчатого зацепления.
После подстановки и введения расчетных коэффициентов получают
,
где
- коэффициент расчетной нагрузки;
-
теоретический коэффициент концентрации
напряжений.
Далее обозначают
-
-коэффициент формы зуба. Берут из
рекомендаций в зависимости от z.
Для колес с внутренними зубьями
Для прямозубых передач расчетную формулу записывают в виде
где
- допускаемое напряжение изгиба.
Для проектных расчетов по напряжениям
изгиба формулу решают относительно
модуля путем замены
,
,
,
тогда
.
И далее, принимая приближенно =1,5 получают
Значениями
и
задаются согласно рекомендациям.
-
безразмерный коэффициент, значения
которого зависят только от формы зуба
и в том числе от формы его галтели. Форма
зуба при одинаковом исходном контуре
инструмента зависит от числа зубьев
колеса z и коэффициента
смещения инструмента x.
Обоснование выбора модуля (m) и числа зубьев (z)
Мелкомодульные колеса с большим числом зубьев предпочтительны по условиям плавности хода передачи (увеличивается ) и экономичности. При малых m уменьшаются потери на трение, сокращается расход материала и экономится станочное время нарезания зубьев.
Крупно-модульные колеса с большим объемом зубьев дольше противостоят износу, могут работать длительное время после начала выкрашивания, менее чувствительны к перегрузкам и неоднородности материала. При мелком модуле возрастают требования к точности и жесткости передачи, так как увеличивается возможность поломки зубьев вследствие концентрации нагрузки, в особенности при перегрузках.