16. Главные оси и главные моменты инерции. Радиус инерции
При
изменении угла 
величины
Ix1, Iy1 и Ix1y1 изменяются. Найдем
значение угла, при котором Ix1 и
Iy1 имеют экстремальные значения; для
этого возьмем от Ix1 или Iy1 первую
производную по
и
преравняем ее нулю:
или
откуда 
Эта формула определяет
положение двух осей, относительно одной
из которых осевой момент инерции
максимален, а относительно другой -
минемален.
Такие оси называют главными. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.
Значения
главных моментов инерции найдем из
формул и, подставив в них 
из
формулы (1.28), при этом используем известные
формулы тригонометрии для функций
двойных углов.
После
преобразований получим следующую
формулу для определения главных моментов
инерции:
Исследуя вторую производную 
можно
установить, что для данного случая (Ix <
Iy) максимальный момент инерции Imax имеет
место относительно главной оси, повернутой
на угол
по
отношению к оси х, а минимальный момент
инерции - относительно другой,
перпендикулярной оси. В большинстве
случаев в этом исследовании нет
надобности, так как по конфигурации
сечений видно, какая из главных осей
соответствует максимуму момента инерции.
Радиус инерции
сечения —
геометрическая характеристика сечения,
связывающая момент
инерции фигуры 
с
ее площадью 
следующими
формулами:
Отсюда, формула
радиуса инерции:
Таким образом,
радиус инерции отражает отношение
жесткости стержня на изгиб (
)
и на сжатие (
).
В сопротивлении стержней продольному изгибу (потере устойчивости прямолинейной формы при сжатии) основную роль играет гибкость стержня, а значит и величина наименьшего радиуса инерции сечения. Таким образом, большую экономичность будут иметь те сечения, у которых наименьший радиус инерции равен наибольшему, то есть сечения у которых все центральные моменты инерции равны, а эллипс инерции обратился бы в круг.
Единица измерения СИ — м. В строительной литературе чаще записывается в миллиметрах или сантиметрах, ввиду небольшой величины на практике.
Если моменты
инерции 
и 
являются
главными моментами инерции, то 
и 
—
также являются главными радиусами
инерции В некоторой литературе радиус
инерции обозначается просто 
17. Кручение. Напряжения, деформации, закон Гука при кручении
Этот вид деформации происходит, когда к стержню прикладываются только крутящие моменты, например, на кручение работает карданный вал автомобиля. На кручение рассчитываются и другие валы, где крутящий момент имеет превалирующее значение в сравнении с другими внешними силами (валы электродвигателей, редукторов и др.).
Рассмотрим кручение консольно закрепленного стержня крутящим моментом, приложенным к свободному концу стержня.
Нанесем на стержень прямоугольную сетку. Под действием крутящего момента стержень закрутится на некоторый угол и сетка исказится. Горизонтальные линии станут наклонными, а прямоугольники превратятся в паралелограммы. При этом, как показывают опыты, расстояние между параллельными сечениями не изменяются, то есть при кручении не происходит растяжения или сжатия стержня. Следовательно, при кручении отсутствуют нормальные напряжения, а возникают только касательные напряжения. К такому же выводу приводит и тот факт, что на поверхности стержня прямоугольники превращаются в паралелограммы. Подобная картина наблюдалась в деформации сдвига (среза), а там в сечении возникали только касательные напряжения.
Если внешними являются только крутящие моменты, то внутренними будут тоже крутящие моменты.
Исходя из выше изложенного, можно записать условие прочности
τ = Мкр/ Wр ≤ [τ] - условие прочности при кручении
Wр - момент сопротивления сечения кручению (см. геометрические характеристики сечений).
Кроме прочностных расчетов приходится определять углы закручивания стержня. Формула для определения угла закручивания имеет вид
φ = Мкр*l/(G* Jр), рад.
Здесь Мкр – внутренний крутящий момент на участке стержня; l – длина участка стержня;
G – модуль сдвига материала стержня; Jр – полярный момент инерции сечения участка стержня.