Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Механика.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
337.1 Кб
Скачать

16. Главные оси и главные моменты инерции. Радиус инерции

При изменении угла   величины Ix1, Iy1 и Ix1y1 изменяются. Найдем значение угла, при котором Ix1 и Iy1 имеют экстремальные значения; для этого возьмем от Ix1 или Iy1 первую производную по   и преравняем ее нулю: или  откуда           Эта формула определяет положение двух осей, относительно одной из которых осевой момент инерции максимален, а относительно другой - минемален.

Такие оси называют главными. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Значения главных моментов инерции найдем из формул и, подставив в них   из формулы (1.28), при этом используем известные формулы тригонометрии для функций двойных углов.

После преобразований получим следующую формулу для определения главных моментов инерции:     Исследуя вторую производную   можно установить, что для данного случая (Ix < Iy) максимальный момент инерции Imax имеет место относительно главной оси, повернутой на угол   по отношению к оси х, а минимальный момент инерции - относительно другой, перпендикулярной оси. В большинстве случаев в этом исследовании нет надобности, так как по конфигурации сечений видно, какая из главных осей соответствует максимуму момента инерции.

Радиус инерции сечения — геометрическая характеристика сечения, связывающая момент инерции фигуры   с ее площадью   следующими формулами:

Отсюда, формула радиуса инерции:

Таким образом, радиус инерции отражает отношение жесткости стержня на изгиб ( ) и на сжатие ( ).

В сопротивлении стержней продольному изгибу (потере устойчивости прямолинейной формы при сжатии) основную роль играет гибкость стержня, а значит и величина наименьшего радиуса инерции сечения. Таким образом, большую экономичность будут иметь те сечения, у которых наименьший радиус инерции равен наибольшему, то есть сечения у которых все центральные моменты инерции равны, а эллипс инерции обратился бы в круг.

Единица измерения СИ — м. В строительной литературе чаще записывается в миллиметрах или сантиметрах, ввиду небольшой величины на практике.

Если моменты инерции   и   являются главными моментами инерции, то   и   — также являются главными радиусами инерции В некоторой литературе радиус инерции обозначается просто 

17. Кручение. Напряжения, деформации, закон Гука при кручении

Этот вид деформации происходит, когда к стержню прикладываются только крутящие моменты, например, на кручение работает карданный вал автомобиля. На кручение рассчитываются и другие валы, где крутящий момент имеет превалирующее значение в сравнении с другими внешними силами (валы электродвигателей, редукторов и др.).

Рассмотрим кручение консольно закрепленного стержня крутящим моментом, приложенным к свободному концу стержня.

Нанесем на стержень прямоугольную сетку. Под действием крутящего момента стержень закрутится на некоторый угол и сетка исказится. Горизонтальные линии станут наклонными, а прямоугольники превратятся в паралелограммы. При этом, как показывают опыты, расстояние между параллельными сечениями не изменяются, то есть при кручении не происходит растяжения или сжатия стержня. Следовательно, при кручении отсутствуют нормальные напряжения, а возникают только касательные напряжения. К такому же выводу приводит и тот факт, что на поверхности стержня прямоугольники превращаются в паралелограммы. Подобная картина наблюдалась в деформации сдвига (среза), а там в сечении возникали только касательные напряжения.

Если внешними являются только крутящие моменты, то внутренними будут тоже крутящие моменты.

Исходя из выше изложенного, можно записать условие прочности

τ = Мкр/ Wр ≤ [τ] - условие прочности при кручении

Wр - момент сопротивления сечения кручению (см. геометрические характеристики сечений).

Кроме прочностных расчетов приходится определять углы закручивания стержня. Формула для определения угла закручивания имеет вид

φ = Мкр*l/(G* Jр), рад.

Здесь Мкр – внутренний крутящий момент на участке стержня; l – длина участка стержня;

G – модуль сдвига материала стержня; Jр – полярный момент инерции сечения участка стержня.