12. Двухосное напряжённое состояние элемента материала
Взаимодействие между частями элемента конструкции можно охарактеризовать величинами нормальных и касательных напряжений в каждой точке элемента. Эти величины зависят от направления сечения, проведенного через данную точку.
Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам проходящим через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в этой точке. Если в одной (и только в одной) площадке, проходящей через рассматриваемую точку тела, касательные и нормальные напряжения=0, то в этой точке имеется плоское (двухосное) напряженное состояние.
13. Плоское напряжённое состояние элемента материала.
Наиболее часто в задачах сопротивления материалов встречается плоское напряженное состояние : при кручении , изгибе , сгибании с кручением и др Плоское напряженное состояние реализуется в пластине, нагруженной по ее контуру силами, равнодействующие которых расположены в ее срединной плоскости (срединная плоскость - плоскость, делящая пополам толщину пластины).
Его характерным признаком является полное отсутствие нормальных и касательных напряжений на двух параллельных гранях параллелепипеда.
Будем
полагать, что при плоском напряженном
состоянии напряжения
не возникают на гранях элементарного
параллелепипеда с нормалью x. Тогда
вместо объемного параллелепипеда с
целью упрощения, мы будем на рисунках
показывать проекцию параллелепипеда
на плоскость 
.
14. Геометрические характеристики плоских сечений
Это вспомогательный материал, но то, что мы рассмотрим в этом параграфе, потребуется для решения практических задач в деформациях кручения и изгиба, а также при расчетах на устойчивость. Не пытайтесь дать физические ассоциации рассматриваемым характеристикам. Невозможно представить геометрическую характеристику плоского сечения с кубической размерностью или размерностью в 4-й степени. Воспринимайте это как математическую абстракцию, необходимую нам для решения практических задач.
Sx
=
у*
dA = А*yс – называется статическим моментом
площади сечения относительно оси х.
Sy = х* dA = A*хс –называется статическим моментом площади сечения относительно оси у.
Эти моменты позволяют определить координаты центра тяжести составного сечения.
хс = Sy/А; yс = Sx/А
Jx = y2*dA – называется осевым моментом инерции площади сечения относительно оси х.
Аналогично Jy = х2*dA - относительно оси у.
15. Осевой и центробежный момент инерции сечения
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:
,
где: mi — масса i-й точки, ri — расстояние от i-й точки до оси.
Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
,
где: dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV, ρ — плотность, r — расстояние от элемента dV до оси a.
Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:
где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.
Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу.Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела.
Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.