1. Вычислить определители:

Вычислить определитель первого порядка:
Вычислить определитель второго порядка:
Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольника:
Вычислить определитель третьего порядка по правилу параллелограмма:

Минором М_ij элемента a_ij матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-ro столбца.

Каждая матрица n-го порядка имеет п² миноров (n-1)-го порядка.

2. Вычислить все миноры заданной матрицы:

Итак,

Итак,

Итак,

Итак,

Алгебраическим дополнением А_ij элемента a_ij матрицы п-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j:

А_ij=(-1)^i+j·М_ij

3. Вычислить все алгебраические дополнения заданной матрицы:

Итак,	Итак,

Определители первого, второго и третьего порядков считаются определителями низших (младших) порядков.

Определители четвёртого, пятого, … порядков считаются определителями высших (старших) порядков.

Определитель:	Число слагаемых	Число множителей в каждом слагаемом
первого порядка
второго порядка
третьего порядка
четвёртого порядка
пятого порядка
шестого порядка

Заметим, что при вычислении определителя n-го порядка находится сумма n! слагаемых, в каждом из которых по n множителей.

Теорема Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

– разложение по элементам i-й строки;

– разложение по элементам j-го столбца.

С помощью теоремы Лапласа можно вычислить определитель любого порядка.

При этом для вычисления определителей второго и третьего порядка пользуются схемами вычисления, а для вычисления определителей старших порядков пользуются теоремой Лапласа.

4. Разложить определитель четвёртого порядка всеми возможными способами (по теореме Лапласа):

=3·А11+5·А12+7·А13+2·А14 – по элементам первой строки;

– по элементам второй строки;

– по элементам третьей строки;

– по элементам четвёртой строки;

– по элементам первого столбца;

– по элементам второго столбца;

– по элементам третьего столбца;

– по элементам четвёртого столбца;

=1·А11+5·А12+0·А13+2·А14=1·А11+5·А12+2·А14 – по элементам первой строки;

– по элементам второй строки;

– по элементам третьей строки;

– по элементам четвёртой строки;

– по элементам первого столбца;

– по элементам второго столбца;

– по элементам третьего столбца;

– по элементам четвёртого столбца.

Заметим, что наиболее оптимальным будет вычисление определителя путём его разложения по элементам ___________________________________________________

5. Вычислите определитель:

Если при вычислении определителя старшего порядка среди его элементов нет нулевых, то их можно получить с помощью элементарных преобразований (или метода Гаусса) согласно свойству определителя: если к одной из строк матрицы прибавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

6. Вычислите определитель:

Вычислим определитель четвёртого порядка путём его разложения по элементам, например, первого столбца, для чего методом Гаусса приведём его к следующему виду:

7. Вычислите определитель: