8.4 Уравнение прямой, проходящей через две точки.

, тогда - ур. пр. ч/з. 2 т.

8.5 Эквивалентность общих и канонических ур.пр.

:

: найдем две разные т. или

а) находим , б) находим т.

ПР. перейти от общ. ур. к канон.

8.6 Совместное исследование прямых.

а) угол между прямыми.

Опр.3 Углом между двумя пр. в пр-ве наз. любой из углов, образованных двумя прямыми, проходящими через

__________________________________________________

данную т. параллельно данным. Т.е. – угол между векторами, параллельными этим прямым.

.

б) условие параллельности двух прямых.

в) условие перпендикулярности двух прямых.

г) условие расположения прямых в одной плоскости.

Пусть , , тогда –компланарны т.е.

ПР. Найти угол между прямыми:

§9 Совместное исследование прямой и плоскости.

9 .1 Угол между прямой и плоскостью.

Опр.1 Углом м/у прямой и плоскостью наз. любой из двух смежных углов м/у пр. и ее проекцией на пл. , , .

9.2 Условие параллельности прямой и плоскости.

.

9.3 Условие перпендикулярности прямой и плоскости.

.

9.4 Пересечение прямой и плоскости.

.

Перейдем к парам. ур. подставим в

,

найдем t: .

Если , то нах. t, подставляем в ур. пл. и нах точку.

Если =0, то , при этом:

а) ,

б) .

ПР. Найти ур. пр., прох-й ч/з т. и .

Найти т. пересеч. ( ).

_________________________________________________

§10. Поверхности второго порядка.

Опр.1 Поверхностью 2-го пор. наз. множ-во т. пр-ва, к-е в нек-й ДПСК задается уравнением , где A, B, C, D, E, F не все равны нулю.

1 0.1 Цилиндрические поверхности.

Опр.2 Пусть L- нек-я линия в пр-ве , ч/з каждую т. к-й проведены прямые параллельные нек-й данной прямой l. Множ-во, являющееся объединением этих прямых, наз. цилиндрической поверхностью; L- направляющая цил-ра, прямые, парал-е l – образующие цил-дра.

Пусть .

Пусть .

Пусть .

З ам. Название цилиндрической поверхности как правило дает название линии L.

Зам. Как узнать по общему ур. цил-ю пов-ть?

В ур. цил-ой пов-ти отсутствует одна к.-н. координата.

ПР. Построить поверхности:

а) , б) .

ПР. Построить тело: .

10.2 Поверхности вращения.

Опр.3 Поверхностью вращения наз. мн-во т. пр-ва, к-ое образуется при вращении нек-й плоской линии L вокруг оси l. L- наз. меридианом пов. вращ., l- ее осью вращения.

М. показать, что ур. п. вр.: при ;

при ;

при .

1 0.3 Эллипсоид.

О пр.4 Эллипсоидом наз-ся поверхность, которая при надлежащем выборе ДПСК имеет уравнение .

10.4 Гиперболоиды.

а ) Опр.5 Однополостным гиперболоидом наз-ся поверхность, которая при надлежащем выборе ДПСК имеет уравнение

б) Опр.6 Двуполостным гиперболоидом наз-ся поверхность, которая при надлежащем выборе ДПСК имеет уравнение .

__________________________________________________

10.5 Параболоиды.

а ) Опр.7 Эллиптическим параболоидом наз-ся поверхность, которая при надлежащем выборе ДПСК имеет уравнение .

(при p=q – поверхность вращения, получаемая вращением параболы вокруг оси Oz).

б ) Опр.8 Гиперболическим параболоидом наз-ся поверхность, которая при надлежащем выборе ДПСК имеет уравнение .