§6. Приведение общ. Ур. Линий 2-го порядка к каноническому виду.

Общая задача: по общему виду ур. кр. 2-го пор. определить тип кривой и построить кривую.

1. Общий случай

Пусть кривая 2-го порядка имеет вид: , т.е. В=0. (1)

Метод решения данной задачи – выделение полного квадрата: (рабочая формула).

После выделения полного квадрата и перегруппировки, получим: (2).

Сделаем параллельный перенос с.к.:

, , (3),

в к-й ур. примет вид: (4).

Можно показать:

а) При AC>0 (м. считать A>0, C>0) имеем:

G>0 эллипс, G=0 точка (0,0), G<0 .

б) При AC<0 (м. считать A>0, C<0) имеем:

гипербола, две прямые.

в) При имеем:

парабола, парабола.

Т.о. ур. (4) м. привести к виду:

, с учетом (3): – эллипс.

, с учетом (3): –гипербола.

, с учетом (3): – парабола.

, с учетом (3): – парабола.

ПР. . (эл.)

__________________________________________________

6.2 Случай - сам. Приз.

§7. Плоскость.

7.1. Общее ур. Пл .

Теорема об общем уравнении плоскости: В ДПСК каждая плоскость определяется ур. 1-й ст. и наоборот: в ДПСК каждое ур 1-й ст. определяет пл.

Док-во: а) пусть - пл., т. , , тогда (1) – ур. пл., прох-й ч/з т. перпен. . Обозначаем (*), тогда: (2) –алг. ур. 1-й ст. – общее ур. пл.

б) Дано (2), надо получить (1). : (3).

(2) - (3) = (1), при усл.(*) .

ПР. Найти ур. пл., прох. ч/з , .

Проведем анализ общего ур. пл.: .

1. прох. ч/з нач. коор.

2. т.к. .

3. и содержит ось Oz.

4. A=0, B=0 .

5. A=0, B=0, :

6. … сам.

7.2 Уравнение плоскости в «отрезках».

(: –D), получим

– ур. пл. в «отрезках», где - суть отрезки, отсекаемые пл. на осях коорд.

Пр. 6x-4y+3z-12=0.

7.3 Уравнение пл-ти, проходящей ч/з три точки

Пусть , , , , тогда - компл-ные

( )=0 =0, (4)

ПР. Составить ур.пл., прох. ч/з точки: , .

7.4 Совместное исследование плоскостей.

а) Угол между плоскостями.

Опр. Углом между плоскостями наз. любой из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

б) Условие параллельности плоскостей:

.

с)Условие перпендикулярности плоскостей:

.

ПР. Найти угол м/у пл.: 5x-2y+z+2=0, x+3z+3=0.

_________________________________________________

7.5 Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от т. до плоскости (сам-но реф.).

: ,

М. показать (Ефимов стр.177), что = = , , откуда – нормальное ур. пл., где p – расстояние d от пл. до нач. коорд.

Назовем отклонением т. от пл. , тогда .

Т.о., чтобы найти откл-е к-л. точки от пл., надо в левую часть норм. ур пл. вместо коорд. текущей т. подставить коорд. данной т.

Чтобы найти норм. ур пл. надо:

| , где – нормирующий множитель, знак к-го противоположен знаку сводного члена D. Получим , где , .

Если D=0, знак произв-й. Т.о. .

ПР. Найти расст т. от пл. .

§8. Прямая в пространстве.

8.1 Общие уравнения прямой.

Опр.1 Прямой в пр-ве наз. линия пересеч. двух пл.: (1) – общее ур. пр. .

8.2 Канонические уравнения прямой.

Опр.2 Вектор, лежащий на данной прямой или паралл-ный ей, наз. направляющим вектором. данной пр.

, ,

(2) – канонические ур. пр. – ур. пр., проходящей ч/з т. , парал. .

8.3 Параметрические уравнения прямой.

Т.к. параметрические ур. пр.