§ 3. Кривые второго порядка.

Напомним, что линия в пр-ве м.б. задана:

1. явно ;

2. неявно: ;

3. параметрически:

Опр.1 Кривой 2–го порядка наз. линия , имеющая в ДПСК ур. 2-й степени от-но x и y:

, .

3.1. Эллипс («недостаток» с греч.)

Опр.2 Эллипсом наз. кривая, имеющая в нек-й ДПСК ур.: , а,b- полуоси эл.

_________________________________________________

О пр.3 Т. наз-ся фокусами эллипса, если a>b,

Точки наз-ся фокусами эллипса, если a<b,

Основные свойства эллипса:

1. Для любых точек эллипса и , т.е. эллипс – это г.м.т., для к-х сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, наз-мых фокусами, есть величина постоянная. (по опис. вывести ур-е сам. – приз.)

2. Отношение расстояния между фокусами к большой оси наз-ся эксцентриситетом эллипса: (<эллипс>- <недостаток>).

3. Уравнение эллипса в параметрическом виде: .

ПР.

3.2. Окружность.

Опр.4 Окружностью наз. кривая, имеющая в нек-й ДПСК уравнение , где R- радиус окруж.

Свойства окружности:

а) для любых т. окр. OM=R=const т.е. окруж. – г.м.т., равноудаленных от т., наз-й центром окр. (окр. – частный случай элипса при a=b).

б) (эксцентриситет).

в) - параметрическое ур. окружности

3.3. Гипербола (<избыток, преувеличение> с греч. )

О пр.5 Гиперболой наз. кривая, имеющая в нек-й ДПСК уравнение , а,b- полуоси гип., а – дейст. п. ось, b- мнимая, или , b – дейст. п. ось, а - мнимая

Опр.6 Т. ., если а – дейст. ось и т. , если b- действ. ось., наз. фокусами гип., .

Свойства гиперболы:

а) Для любых т. гип. , при a- дейст. ось. и , при b- действ. ось., т.е. гипербола – это г.м.т., для к-х модуль разности расстояний до фокусов есть величина постоянная. (по описанию кривой вывести ур. гип.– приз.).

б) - эксцентриситет ( отношение расст. между фокусами к длине действ. оси), (<избыток>).

в) Прямые обладают тем св-ом, что точки гиперболы при подходят сколь угодно близко к этим прямым, к-е наз. асимптотами гип.

Сам. (приз.) показать, что - ас-ты.

__________________________________________________

Док-во:

гип.,

(домн-ть на сопряж.) ,при

Зам. Кривая тоже явл-ся гиперболой, равнобочной.

ПР.

3.4. Парабола (греч.- приложение)

О пр.7 Параболой наз-ся кривая, имеющая в нек-й ДПСК ур-ние или , p- параметр параболы.

Опр.8 Точка наз-ся фокусом параболы .

Опр.9 Прямая наз-ся директрисой параболы .

Основное свойство параболы:

Для любых точек параболы , т.е. парабола – это г.м.т., равноудаленных от фокуса и от директрисы.

ПР.

§4. Преобразование декартовых координат.

4.1 Параллельный перенос ск.

П усть , , , , ,

, тогда , , , .

Т.о. в системе относительно т. .

4.2 Поворот ск (сам. Приз)

Введем четыре СК: ,

: .

: .

= = = .

= = = .

ПР.

_________________________________________________

§5. Полярная система координат. Пск

Опр.1 Полярная с.к. задается:

1. полюсом О – нач. коорд.,

2. полярной осью - луч ОА,

3. масштабной единицей.

При этом положительным поворотом вокруг точки О считается поворот против час. стрелки.

Опр.2 Полярными координатами т. М от-но заданной ПСК наз. числа - полярный радиус и полярный угол, к-ый берется с учетом знака с точностью до .

Опр.3 Среди возможных значений полярного угла точки М выделим одно: и назовем его главным.

Установим связь между полярными коорд. и декартовыми:

,

ПР. Найти декарт. к. т и построить ее.