Глава 3. Аналитическая геометрия
§1. Введение.
Общая задача: исслед-е многочисленных линий, заданных уравнениями.
Опр.1
Уравнением
данной линии
в выбранной с.к на плоскости наз. ур.
,
к-му удовл-т коорд. (x,y)
каждой точки, лежащей на этой линии и
не удов. коорд. ник-й т., не лежащей на
ней.
ПР.
Опр.2 Линией, определяемой данным ур-ем в нек-й с.к., назовем г.м.т., координаты кот-ых удовл. этому ур-ю.
Опр.3
Уравнением
данной поверхности
в выранной с.к. наз. ур.
,
к-му удовл. коорд. т., лежащих на этой
пов-ти и не удовл. коорд. ни одной т., не
леж. на ней.
ПР.
Опр.4 Поверхностью, определяемой данным ур-м, наз. г.м.т., коор. к-х удовл. этому ур-ю.
Главные задачи аналитической геометрии:
1)Дано ур. линии, найти г.м.т. этой линии, т.е. ее график.
2)Дано геом. описание линии, найти ее уравнение.
3)Найти
точки пересечения двух линий:
В ан. г. основным предметом изучения яв-ся линии, опред-ые по отношению к ДПСК алгебр-ми ур-ми.
__________________________________________________
§2. Прямая на плоскости
2.1. Общее уравнение прямой.
T. (об общем ур. прямой)
В ДПСК каждая прямая определяется ур. первой ст. и обратно: каждое ур. первой ст. опред. нек-ю прямую.
Д
ок-во.
а) дано: – прямая,
,
,
тогда
и
.
Или
(1) – ур.
пр., прох-ей
ч/з т.
.
Обоз-чим
,
тогда ур. прямой будет
(2)
-алг. ур. – об щ.ур. пр.
б)
дано алг. ур. 1-й ст. :
.Покажем,
что это ур. – ур. прямой, т.е. надо показать,
что из (2) следует (1). Перепишем (2):
,
пусть
,
сл-но (2)-ур. пр.
Проведем анализ общего ур. прямой.
С=0:
пр-й,
прох. ч/з нач. коор.
В=0:
,
,
.
В=0
и С=0:
,
т.е.
-
прямая проходит ч\з нач. коорд. , параллельно
Oy.
Остальные случаи сам-но.
Пр.
Найти ур-ние прямой, проходящей ч/з т.
и || др. прямой
.
Решение:
или
.
2.2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Д
ано:
l-
пр-я на пл., т.
,
тогда ур. пр.l:
.
С
др. стороны из чертежа из тр-ка
-
наз. угловым
коэфф.
прямой: tg
угла наклона прямой к полож. направ. оси
Оx.
Т.о. ур прямой:
-ур.
пр.,прох-ей ч/з т.
с угл.коэф. k.
-ур.
пр. с угл. коэф.,
где
Если b=0, прямая проходит ч/з нач. коорд.
Если k=0, прямая || оси Оx.
Если
,
пр-я
оси
Оx,
ее ур-е
(см
общ ур. пр.)
ПР.
2 3. Уравнение прямой через две точки.
Пусть
,
__________________________________________________
-
ур. пр. ч/з
две точки.
Заметим,
что
,
т.е., если
и
,
то ур-ние прямой l
выглядит так:
– каноническое
ур-ние
прямой.
Пр.
Найти ур-ние прямой, проходящей ч/з т.
и
др. прямой
.
Решение:
или
.
2. 4. Уравнений прямой в «отрезках».
Пусть
т.
,
составим ур. пр. ч/з эти две т.:
или
-
ур. пр. в
«отрезках».
Пр.
тогда в «отрезках»:
(+ график).
2.5. Совместное исследование прямых
а
)
Т. пересечения прямых:
б)
Угол между двумя прямыми:
.
или
.
в)Условие параллельности двух прямых:
или
.
г) Условие перпендикулярности прямых:
или
.
д)
Условие совпадения двух прямых:
.
Пр.
Проверить, будут ли прямые паралл.,
перпенд. или найти угол меду прямыми,
их т. пересеч., построить прямые:
.