§2. Определители.

Опр.1 Определителем квадратной м-цы первого пор. наз. число = .

Опр2. Определителем квадратной матрицы называется

Воспользуемся методом мат-й индукции.

Пусть определен определитель (n-1)-го порядка.

Опр.3 Минором эл-та кв. м-цы наз. опред.

м-цы, получ-й из дан-й вычерк-ем i-й стр и j-го ст-ца.

ПР.

Опр.4 Алг-м доп-м эл-та наз. чис.

ПР. .

Опр.5 Определителем м-цы пор. n наз. число, к-е ставится в соот-е кв. м-це пор. n по формуле:

, .–наз. разложением опред. по i-той строке. Аналогично м. записать разложение опред. по столбцу

ПР. = = разлож по 1-й стр.= .

ПР. = разложим по 1-й строки =

= – =.

ПР. = – 286, .

Свойства определителей. Пусть

1. ;

2. При перестановке двух рядов опред-ль меняет знак.

ПР.

3. Если м-ца А имеет два пропорциональных ряда (лин. зав.), то =0;

________________________________________________________

ПР. .

4. Общий множ-ль эл-в ряда м. выносить за знак опр.:

ПР.

5. Опр-ль, имеющий нулевой ряд равен нулю;

6. Величина опр-ля не изменится, если к эл-ам к-л ряда прибавить соот-щие эл-ты др. парал-го ряда, умноженные на число k (док. сам.).

ПР. .

7. Сумма произведений эл-ов к-л ряда опр-ля на соот-щие алг. доп. эл-ов др. парал. ряда равна нулю (док. с)

8. Пусть и – определители, различающиеся элементами только одного ряда. Тогда их сумма равна определителю, у которого указанный ряд состоит из сумм соответствующих элементов определителей и .

9. - док. приз.

ПС 2. Из св-в следует. что опр-ль удобно выч-ть, преобразовав предварительно его так, чтобы в к-л ряду получились нули ( если все нули, то опр-ль =0).

ПР. =0;

Опр. 6 Кв. м-ца наз. вырожденной, если ее опр-ль =0, в противном сл. – невырожденная.

§3 Обратная матрица.

Опр.1 М-ца наз. обратной к м-це , если

.

Т. об обратной матрице.

Если м-ца - невыр-ая, то , где - алг. доп.

Док-во. Пусть . Покажем, что .

Пусть , тогда =

= = .

М. выделить два способа нахождения обратной м-цы:

по опред-ю ( с пом. алг. доп.) и с пом. эл-х преобраз-й.

а) ПР. , .

проверка! б) . ПР.

§4 Ранг матрицы.

Опр.1 Минором S-го порядка м-цы называется определитель любой матрицы S-го пор., составленной из элементов м-цы стоящих на пересечении любых ее S строк и S столбцов.

Опр.2 Рангом м-цы наз. число, равное наивысшему порядку ее миноров, отл-х от нуля: Оч-но, что ;

________________________________________________________

1. ;

2. ;

3. ;

4. добавление или вычеркивание нулевого ряда не меняет ранга м-цы;

5. элементарные преобр-ия не меняют ранга м-цы.

Опр.3 Минором, окаймляющим минор м-цы А, наз. минор , содержащий минор .

Опр.4. Базисным минором называется минор, не равный нулю, порядок которого совпадает с рангом матрицы.

М. выделить два метода отыскания ранга м-цы:

а) с пом. окаймляющих миноров: если в м-це А имеется минор не равный нулю, а все этой м-цы =0, то ранг м-цы равен k.

б) с пом. эл. преобр-й м-цы: приводим м-цу к трапециевидной форме, работая только со строками (столбцами).

ПР. .

, все