II. Функции нескольких переменных.

Определение 9. Пусть даны два непустых множества и , причём множество состоит из упорядоченных пар чисел , а множество из элементов . Соответствие , которое каждому элементу из сопоставляет один и только один элемент из называется функцией двух переменных , определённой на множестве со значениями в .

Например, - функция от двух переменных. Область определения этой функции – множество всех пар чисел , для которых выполняется неравенство , то есть или первый и третий квадранты без оси , а множество значений – промежуток .

Аналогично можно дать определение функции трёх переменных , четырёх переменных и вообще переменных .

Графиком функции двух переменных в прямоугольной системе координат является некоторая поверхность в пространстве.

В отличие от функций одной переменной, функции двух переменных имеют две производные первого порядка. Они называются частными производными.

Частная производная функции по переменной представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении (обозначается или ), а частная производная функции двух переменных по переменной представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении (обозначается или ). Поэтому частные производные вычисляются по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной.

Примеры. Найдём частные производные функций:

1) ; , ;

2) , ,

.

Аналогично вычисляются частные производные функций трёх и более переменных. Например, для функции , , , .

Пусть функция имеет частные производные первого порядка и . Если и имеют свои частные производные, то они называются частными производными второго порядка и обозначаются следующими символами:

; ;

; .

Частные производные второго порядка и называются смешанными частными производными. Для непрерывных функций они равны.

Пример. Найдём частные производные второго порядка от функции .

Сначала находим частные производные первого порядка: , .

Затем находим частные производные второго порядка: , , .

Частные производные третьего порядка определяются как частные производные от частных производных второго порядка и так далее.

Определение 10. Функция имеет максимум (минимум) в точке , если для любой точки , находящейся в некоторой окрестности точки , выполняется условие ( ). Максимумы и минимумы функций называются экстремумами, а точка - точкой экстремума.

Теоремы, отражающие необходимые и достаточные условия экстремума, дают следующий

Алгоритм исследования функций от двух переменных на экстремум

1. Вычислить частные производные первого порядка: и . Из системы найти точки, подозрительные на экстремум (стационарные точки). Пусть - стационарная точка функции (таких точек может быть несколько).

2. Вычислить частные производные второго порядка , , и их значения в стационарной точке:

3. Найти значение дискриминанта .

а) Если , то в точке экстремум есть, при этом, если (или при ), то в точке функция имеет минимум, а если (или при ) – максимум.

б) Если , то в точке экстремума нет.

в) Если , то требуются дополнительные исследования.

Примеры. Найдём экстремумы функций:

1) .

1. Вычислим частные производные первого порядка: , . Из системы находим точку , подозрительную на экстремум.

2. Найдём частные производные второго порядка: , , . Значения вторых производных не зависят от и , поэтому нет необходимости вычислять их величину в стационарной точке и , , .

3. Вычисляем значение дискриминанта . Следовательно, в точке нет экстремума.

2) .

1. Частные производные первого порядка равны , . Точка - стационарная точка, так как её координаты являются решением системы

2. Частные производные второго порядка равны , , . Вычислим их значения в стационарной точке: , , .

3. Дискриминант равен . Следовательно, в точке экстремум есть. Так как , - точка минимума, .

3) .

1. Вычислим частные производные первого порядка: , . Находим стационарные точки, используя необходимые условия: , , ; , . Следовательно, , - стационарные точки.

2. Находим вторые частные производные: , , и их значения в стационарных точках: , , ; , , .

3. . Следовательно, в точке нет экстремума.

. Следовательно, в точке экстремум есть. Так как , - точка максимума, .

4) .

1. Вычисляем частные производные первого порядка: , . Из системы находим стационарные точки:

,

, ; , ; , ; , . Следовательно, , , , - точки, подозрительные на экстремум.

2. Находим вторые частные производные: , , и их значения в стационарных точках: , , ; , , ; , , ; , , .

3. Вычисляем значения всех дискриминантов и делаем выводы. . Следовательно, в точке нет экстремума.

, поэтому в точке нет экстремума.

. Следовательно, в точке экстремум есть. Так как - точка минимума, .

, поэтому в точке экстремум есть. Так как - точка максимума, .