Тема 2. Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление занимается изучением и приложениями производных. Рассмотрим основные моменты этого раздела сначала применительно к функциям одной переменной, а затем - к функциям нескольких переменных.

I. Функции от одной переменной.

Определение 4. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента при стремящемся к нулю, если этот предел существует. Производная функции в точке обозначается :

.

Производную функции в точке обозначают , , или .

Необходимым условием существования производной функции в заданной точке является непрерывность функции в этой точке (функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности данной точки и ). Обратное утверждение является неверным. Например, функция непрерывна на промежутке , но в точке производной не имеет.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале.

Для вычисления производных используется таблица производных и правила дифференцирования.

Таблица производных

1. , где .

2. , где .

3. .

4. , где .

5. .

6. , где .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

Правила дифференцирования

1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

, где .

Пример: .

2. Производная суммы (разности) двух функций, определённых на одном и том же промежутке, равна сумме (разности) производных этих функций:

.

Пример:

.

3. Производная произведения двух функций, определённых на одном и том же промежутке, вычисляется по формуле

.

Пример: .

4. Если функции и имеют в точке производные и , то в этой точке существует производная их частного, которая вычисляется по формуле

.

Пример: .

5. Если функция сложная, то есть , где , то её производная может быть вычислена по правилу

.

Пример: .

Определение 5. Производной второго порядка (второй производной) функции называется производная от её производной:

,

если этот предел существует.

Аналогично производную от второй производной называют производной третьего порядка или третьей производной.

В общем случае производной порядка называется производная от производной порядка: .

Производные второго, третьего и более высоких порядков вычисляются последовательным дифференцированием заданной функции.

Примеры: 1) , , , , … , .

2) , , , , … , .

С помощью пределов и производных производится исследование графиков функций. Изучение графика функции целесообразно производить по следующему плану.

Схема исследования и построения графика функции

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность-нечётность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Отыскать асимптоты графика функции.

5. Найти интервалы монотонности и точки экстремума.

6. Найти интервалы выпуклости-вогнутости графика функции и точки перегиба.

7. Построить график, учитывая проведенные выше исследования и, если необходимо, вычисляя значения функции в дополнительных точках.

Остановимся подробнее на 5 и 7 пунктах.

Определение 6. Прямая линия называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки , лежащей на графике, до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Асимптоты делятся на вертикальные, горизонтальные и наклонные.

1. нахождение вертикальных асимптот: прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или . Вертикальные асимптоты существуют в точках разрыва функции либо на границе области определения функции.

2. нахождение горизонтальных асимптот: прямая является горизонтальной асимптотой графика функции , если или .

3. нахождение наклонных асимптот:

а) прямая является наклонной асимптотой графика функции при , если одновременно существуют пределы: , ;

б) прямая является наклонной асимптотой графика функции при , если одновременно существуют пределы , .

Исследование графика функции на выпуклость и вогнутость (выпуклость вверх-вниз) производится аналогично изучению монотонности и точек экстремума только с применением второй производной.

Определение 7. График функции называется выпуклым вверх (вниз) на промежутке , если он расположен выше (ниже) любой касательной к графику функции, проведенной в любой точке этого промежутка.

Достаточным условием выпуклости вверх (вниз) графика функции является следующая теорема: если функция имеет на интервале вторую производную и ( ) на , то график функции имеет на интервале выпуклость вверх (вниз).

Пример. Определим интервалы выпуклости-вогнутости графика функции .

Область определения функции – множество всех действительных чисел . Вторая производная функции равна . Находим критические точки второго рода (точки, в которых вторая производная обращается в ноль или не существует): . Разбиваем область определения функции на интервалы критическими точками второго рода и методом пробных точек исследуем знаки второй производной на каждом из интервалов.

Рис. 1

Функция выпукла вверх при , выпукла вниз при .

Определение 8. Если в точке график функции имеет касательную и при переходе через неё выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, то точка называется точкой перегиба.

Необходимым условием точки перегиба является следующая теорема: если функция имеет в точке непрерывную вторую производную и в точке есть перегиб графика этой функции, тогда .

Достаточное условие точки перегиба имеет вид: пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки и при переходе через точку слева направо производная меняет знак, тогда график функции имеет перегиб в точке .

Таким образом, точки перегиба следует искать среди точек области определения, в которых вторая производная обращается в ноль. При переходе через точку перегиба вторая производная обязана сменить знак.

Пример. Определим точки перегиба функции . Вторая производная обращается в ноль при . Функция имеет вторую производную в окрестности точки и при переходе через неё меняет свой знак. Следовательно, - точка перегиба графика функции .

Пример. Исследуем и построим график функции .

1. Область определения функции: .

2. Функция нечётная, так как .

3. Точки пересечения с осью ищем из уравнения или . Последнее уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью нет. График функции не имеет пересечений и с осью , так как .

4. Асимптоты:

1. вертикальные: точкой разрыва графика функции является . , следовательно, прямая является вертикальной асимптотой.

2. горизонтальные: . Следовательно, горизонтальных асимптот нет.

3. наклонные:

а) , ;

, .

Следовательно, прямая - наклонная асимптота при .

б) Аналогично, прямая - наклонная асимптота при .

5. Исследуем функцию на монотонность и точки экстремума. Производная функции равна . Производная обращается в ноль в точках .

Рис. 2

Ф

ункция возрастает при и , убывает при и . Точка является точкой минимума, ; является точкой максимума, .

6. Проведем изучение промежутков выпуклости вверх-вниз функции и точек перегиба. Вторая производная функции равна . Вторая производная не обращается в ноль.

Рис. 3

Функция выпукла вверх при , выпукла вниз при . Точек перегиба нет.

7. Построим график функции, учитывая проведённые выше исследования и вычисляя значения функции в дополнительных точках.

	0,5	-0,5	2	-2
	2,5	-2,5	2,5	2,5

Рис. 4