5.2. Метод трапеций

Пусть функция fC²[0; h]. Обозначим , . В качестве приближенного значения интеграла берем площадь трапеции (рис. 5.2):

Рис.5. 2. Метод трапеций

.

Рассчитаем погрешность, используя формулу Тейлора с интегральным остаточным членом:

Для подынтегральной функции получаем:

(5.1)

Учитывая свойства функции , имеем

(5.2)

Умножим (5.1) на h/2:

.

Выразим (h/2)f₀ :

.

Заменим в формуле (5.2): , тогда

Полагая:

,

получаем, что погрешность вычисления интеграла равна:

Полученная формула имеет 3-й порядок точности и точна для многочленов 1-й степени.

Пусть теперь функция задана на некотором произвольном отрезке [а; b]: fC²[a; b] . Разбиваем [a; b] на N отрезков с шагом h:

h = (b-a)/N, x _i =a + ih, f_i=f(x_i) .

Рассуждая аналогично методу прямоугольников, получим:

- составная формула трапеций

При этом погрешность приближения:

5.3. Метод Симпсона

Пусть fC⁴[-h; h]. В качестве приближенной площади под кривой берем площадь параболы через точки -h и h (рис. 5.3).

Рис.5.5. Метод Симпсона (парабол)

Общее уравнение параболы имеет вид: .

Подставив точки (-h; f(-h)), (0; f₀) и (h; f(h)), определим коэффициенты и получим:

,

где .

Тогда:

Получаем:

.

Погрешность приближенного вычисления интеграла определяется с помощью формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме аналогично формуле трапеций:

.

Формула Симпсона имеет пятый порядок точности и точна для многочленов 3-й степени.

Пусть fC⁴[a; b] . Разбиваем отрезок [a; b] на 2N частей с шагом h:

h = (b-a)/(2N), x _i = a + ih, f_i = f(x_i) .

.

- составная формула Симпсона

Полиномы Лежандра

Полиномы Лежандра L_n(x) отрогональны на отрезке [–1, 1] с единичной весовой функцией h(x)=1. Они могут быть определены на основе рекурентного соотношения

, (2.3)

при этом L₀(x)=1, L₁(x)=x.

Нормирующий множитель (квадрат нормы)

.

На рисунке 2.1 показаны первые четыре полинома Лежандра, вычисленные на основе (3). Упорядочение осуществляется по степени полинома.

Рисунок 2.1 – Полиномы Лежандра

Вычисление спектральных коэффициентов производится по формуле, аналогичной формуле (1.6) из темы 1:

. (2.4)

Если сигнал, подлежащий исследованию, представлен в виде дискретных во времени отсчетов, то целесообразно использовать дискретные полиномы Лежандра. Аргументом при этом является последовательность натуральных чисел 0, 1, 2,…, k,…, Km, где Km – номер последнего отсчета.

В общем виде дискретный полином Лежандра степени n определяется на Кm+1 равноотстоящих отсчетов выражением

, (2.5)

где – число сочетаний из А элементов по В элементов, n=0, 1, 2, … .

Полиномы (2.5) ортогональны на отрезке [0, Km] с единичной весовой функцией.

Нормирующий множитель (квадрат нормы) определяется как

. (2.6)

Спектральные коэффициенты определяются в этом случае выражением

. (2.7

• Если , то

• Для , степень равна n.

• Сумма коэффициентов многочлена Лежандра равна 1.

• Уравнение имеет ровно различных корней на отрезке

• Пусть . Тогда:

• 

• 

• Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения

При уравнение принимает вид

• Производящая функция для многочленов Лежандра равна:

• Условие ортогональности этих полиномов на отрезке :

где  — символ Кронекера.

• Для , норма равна:

• Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой следующим соотношением:

• При каждом система присоединённых функций Лежандра полна в .

• В зависимости от и присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

•  — четная функция;

•  — нечетная функция.

• 

• 

• , поскольку , а .

• Для , .

• 

КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ

Метод прямоугольников

Разобьем отрезок точками на n равных частей. В результате получим n криволинейных трапеций. Площадь каждой из трапеций можно приближенно заменить площадью прямоугольников.

Рисунок 1 – Геометрический смысл определенного интеграла

Метод прямоугольников относится к простейшим методам. К этому методу относят методы: левых прямоугольников, правых прямоугольников и средних прямоугольников.

1. Формула левых прямоугольников.

В общем виде формула левых прямоугольников на отрезке выглядит следующим образом:

,

в этой формуле , а – значения функции в соответствующих точках.

На рисунке 2 приведен геометрический смысл метода левых прямоугольников

Рисунок 2 - Геометрический смысл метода левых прямоугольников

2. Формула правых прямоугольников.

В общем виде формула правых прямоугольников на отрезке выглядит следующим образом:

,

в этой формуле , а – значения функции в соответствующих точках.

На рисунке 3 приведен геометрический смысл метода правых прямоугольников.

Рисунок 3 - Геометрический смысл метода правых прямоугольников

3. Формула средних прямоугольников.

В общем виде формула средних прямоугольников на отрезке выглядит следующим образом:

,

в этой формуле .

На рисунке 4 приведен геометрический смысл метода средних прямоугольников.

Рисунок 4 - Геометрический смысл метода средних прямоугольников

Как следует из рисунков 2-4, метод прямоугольников имеет достаточно большую погрешность и поэтому широкого практического применения не находит.