Контрольные вопросы:

1. Определение матрицы. Транспонированная матрица.

2. Арифметические действия над матрицами.

3. Произведение матриц и его свойства.

4. Определитель матрицы и его свойства.

5. Разложение определителя по строке и столбцу.

6. Понятие системы линейных алгебраических уравнений.

7. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.

8. Обратная матрица.

9. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.

10. Понятия окаймляющего и базисного минора. Ранг матрицы.

11. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий единственности решения системы.

12. Общее решение системы линейных неоднородных уравнений.

13. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

Лекция № 2. Векторная алгебра

2.1. Векторы. Линейные операции над ними. Разложение векторов. Вектор на оси

Определение 2.1. Осью называется прямая линия с указанным на ней направлением.

Определение 2.2. Вектором на оси называется направленный отрезок на оси.

Будем обозначать вектор с начальной точкой А и конечной точкой В символом . Если начальная и конечная точки вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым.

Определение 2.3. Длиной вектора называется расстояние между началом и концом вектора. Длину вектора называют еще модулем вектора и обозначают .

Два вектора назовем равными, если они имеют одинаковые длины и одинаковые направления.

Определение 2.4. Алгебраической величиной вектора в направлении оси называется число, равное его длине, взятой со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если направление противоположно направлению оси. Алгебраическая величина вектора обозначается АВ.

Очевидно, необходимым и достаточным условием равенства векторов на оси является равенство алгебраических величин этих векторов.

Вектор на плоскости и в пространстве

Определение 2.5. Вектором на плоскости и в пространстве называется направленный отрезок.

Помимо обозначения , где А начало вектора, а В – его конец, будем использовать также малые латинские буквы, выделенные жирным шрифтом: а, b, c, … . Аналогично, как для вектора на оси, определяется нулевой вектор, а также длина или модуль вектора.

Определение 2.6. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Назовем два вектора равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и одинаковые направления.

Пусть дан вектор и некоторая ось u, пусть и – проекции точек А и В на ось u.

Определение 2.7. Проекцией вектора на ось u называется алгебраическая величина вектора на оси и. Проекция обозначается символом .

Заметим, что проекция может быть положительным, отрицательным или равным нулю числом.

Справедлива формула:

,

где  – угол между вектором и осью и. На рис. 2.1 представлено два случая: угол  – острый (в этом случае проекция положительна) и угол  – тупой (проекция отрицательна):

Рис. 2.1

Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

Определение 2.8. Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве с общим началом О и одинаковой масштабной единицей образуют декартову систему координат в пространстве. Оси занумерованы в определенном порядке и называются: первая – ось Ох или ось абсцисс, вторая – ось Оу или ось ординат, третья – ось Оz или ось аппликат.

Пусть М – произвольная точка в пространстве, а , и – проекции этой точки на оси Ох, Оу и Оz, соответственно (см. рис. 2.2).

Определение 2.9. Декартовыми координатами точки М называются алгебраические величины векторов , и . Это обозначается следующим образом: М(х, у, z), где , , (рис. 2.2). Декартовы координаты х, у и z точки М называют еще ее абсциссой, ординатой и аппликатой, соответственно.

Определение 2.10. Пусть в пространстве дан вектор а = . Декартовыми координатами вектора а называются проекции , и этого вектора на координатные оси (см. рис. 2.3). Обозначение: а= .

Рис. 2.2 Рис. 2.3

Если известны координаты точек и , то координаты вектора вычисляются по формулам:

(2.1а)

Формулы для вычисления длины вектора а, а также расстояния между точками и :

. (2.2а)

Декартовы координаты вектора на плоскости определяются аналогично, с той разницей, что там отсутствует ось аппликат и, соответственно, третья координата. Таким образом, если а = и , то, очевидно,

. (2.1б)

(2.2б)

Определение 2.11. Обозначим ,  и  – углы наклона вектора а к координатным осям Ох, Оу и Оz, соответственно. Три числа cos, cos и cos называются направляющими косинусами вектора а.

Справедливы равенства:

(2.3)

Формулы для вычисления направляющих косинусов:

(2.4)

Если равенства (2.4) возвести в квадрат и сложить, то получим:

(2.5)

Таким образом, сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

Так как любой вектор однозначно определяется заданием трех его координат, то теперь мы видим, что любой вектор также однозначно определяется заданием его длины и направляющих косинусов.

Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число.

Определение 2.12. Суммой а + b двух векторов а и b называется вектор, который идет из начала вектора а в конец вектора b, при условии, что вектор b приложен к концу вектора а.

С уществует два способа сложения векторов: по правилу треугольника (рис. 2.4) и по правилу параллелограмма (рис. 2.5).

Рис. 2.4 Рис. 2.5

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1. переместительное свойство: а + b = b + a;

2. сочетательное свойство: (a + b) + c = a + (b + c).

Определение 2.13. Вектор –а называется обратным вектору а, если он коллинеарен а, имеет длину, равную |a|, и направлен в противоположную сторону.

Очевидно, а + (–а) = 0.

Определение 2.14. Разностью двух векторов a и b называется вектор a – b = a + (–b).

На рис. 2.6 показано, как построить разность векторов двумя различными способами.

Рис. 2.6

Определение 2.15. Произведением числа  на вектор а называется вектор а, коллинеарный вектору а, имеющий длину |||a| и направленный так же, как а, если  > 0, и в противоположную сторону, если  < 0. Если  = 0, то а = 0.

Перечислим свойства, которыми обладает операция произведения вектора на число.

1. Распределительное свойство относительно суммы векторов: (а + b) = a + b.

2. Распределительное свойство относительно суммы чисел: ( + )а = а + а.

3. Сочетательное свойство: (а) = ()а.

4. Если вектор b коллинеарен вектору а, то существует число  такое, что b = a.