Обратная матрица. Решение матричных уравнений Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему, имеющую одинаковое количество уравнений и неизвестных, такую, что определитель ее матрицы отличен от нуля:

По теореме Крамера такая система должна иметь единственное решение. Это решение может быть найдено другим способом.

Используя произведение матриц, можно записать данную систему в матричном виде:

,

где

, , .

Так как , то для матрицы А существует обратная , и мы можем выразить неизвестный столбец Х из матричного равенства:

. (1.9)

Это и есть матричный способ решения систем.

Определение 1.15. Рангом матрицы называется порядок ее базисного минора. Ранг матрицы обозначается следующим образом: rang A.

Если матрица нулевая, то ее ранг равен нулю, так как нулевая матрица не имеет базисного минора.

Теорема 1.5 (О ранге матрицы). Ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов (строк).

Теоремы о существовании и единственности решения системы

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений:

Пусть – матрица системы.

Определение 1.16. Матрица , получающаяся из А приписыванием столбца свободных членов, называется расширенной матрицей.

Заметим, что r=rang  rang A.

Теорема 1.6 (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы .

Теорема 1.7 (Критерий единственности решения системы). Если r = n, то система обладает единственным решением. Если r < n, то система имеет бесконечно много решений.

Системы линейных неоднородных уравнений

Пусть дана система линейных неоднородных уравнений:

Определение 1.17. Однородная система, которая получается из данной подстановкой вместо свободных коэффициентов нулей, называется приведенной системой:

Сумма частного решения неоднородной системы и общего решения приведенной системы дает общее решение неоднородной системы:

(1.10)

Таким образом, чтобы решить неоднородную систему уравнений, необходимо проделать следующие действия:

1. С помощью теоремы Кронекера-Капелли исследовать систему на совместность. Далее будем считать, что система совместна.

2. Составить приведенную систему и найти ее общее решение.

3. Найти частное решение исходной системы, придав всем свободным переменным нулевые значения.

4. Составить общее решение неоднородной системы.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса является универсальным методом решения систем линейных уравнений с произвольным количеством уравнений и неизвестных.

Основная идея метода Гаусса заключается в том, что расширенная матрица системы уравнений путем элементарных преобразований приводится к ступенчатой форме, когда все элементы ниже главной диагонали обращены в нуль.

(1.11)

По полученной матрице выписывается система, которая будет эквивалентна исходной. Очевидно, r = rang .

Если в матрице (1.11) получилась строка с единственным ненулевым элементом – , то и система несовместна, этой строке соответствует уравнение , не имеющее решений. В противном случае и возможны два варианта:

1) r = n и нижняя ненулевая строка матрицы (1.11) определяет уравнение: . Так как , то имеем решение . Подставим его в вышестоящее уравнение и получим уравнение с одной неизвестной , решим его и перейдем к следующему уравнению и т.д. В результате получим единственное решение системы: (х₁, х₂ , х₃ , . . . , х_n ).

2) r < n и нижняя ненулевая строка дает уравнение с несколькими неизвестными: .

Назовем свободными переменными и выразим через них сначала , а затем остальные переменные . Получаем бесконечное множество решений системы.