5.2. Дифференциал функции

Для функции y = f(x) рассмотрим производную Отсюда, по определению предела, величина является бесконечно малой. Тогда или , где А = f′(x) – константа. Таким образом, приращение ∆y отличается от величины на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем ∆x.

Определение 5.2. Функция называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение в этой точке можно записать в виде: .

Величина А∆x называется дифференциалом функции f(x) и обозначается dy = А∆x = f′(x) ∆x.

Величина называется дифференциалом независимой переменной и обозначается . Тогда

(5.2)

Теорема 5.2. Функция f (x) дифференцируема в точке х тогда и только тогда, когда она имеет производную в этой точке, равную А.

Заметим, что мы можем рассматривать производную, как отношение двух дифференциалов:

(5.3)

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием функции.

5.3. Правила дифференцирования. Свойства дифференциала. Таблица производных

1) Производная константы равна нулю, т.е. .

2) Если функция f (х) имеет производную в точке х, то С∙f (х) также имеет производную в точке х, и при этом

(5.4)

3) Если функции и(х) и v(x) имеют производные в точке х, то их сумма f (х) = и(х) + v(x) также имеет производную в точке х, и при этом

(5.5)

4) Если функции и(х) и v(x) имеют производные в точке х, то их произведение f(x) = u(x)v(x) также имеет производную в точке х и

(5.6)

5) Если функции и(х) и v(x) имеют производные в точке х и, кроме того, v(x)  0, то частное также имеет производную в точке x и

(5.7)

6) Пусть дана сложная функция у = f (u), где и = g (x) и пусть u = g (x) имеет производную в точке х, а функция y = f (u) имеет производную в точке и = g (x). Тогда сложная функция у = f (g(х)) имеет производную в точке х и

(5.8)

16. Свойства дифференциала

dc = 0, c = const.

d(u  v) = du  dv.

d(cu) = c du, c = const.

d(uv) = v du + udv.

.

Дифференциал сложной функции: если y = f(x), x = φ(t), то .

Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных: дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, при этом безразлично, будет ли этот аргумент независимой переменной или функцией от другой независимой переменной. Таким образом, если и , то . Тогда свойство инвариантности выражается формулой:

(5.9)

17. Таблица производных основных элементарных функций (таб. 5.1)

18. Таблица 5.1

Примеры.

2. . Воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций:

3. . Воспользуемся правилом дифференцирования частного функций:

. Так как эта функция сложная, то воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

5.4. Дифференцирование обратных, неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование Дифференцирование обратных функций

Теорема 5.3. Пусть – непрерывная, строго возрастающая или строго убывающая в некоторой окрестности точки х, и пусть в этой точке существует производная . Тогда обратная функция также имеет производную в точке , причем выполняются формулы

или (5.10)

С помощью этой теоремы получаются формулы для производных обратных тригонометрических функций и логарифмической функции.

19. Производная неявной функции

Определение 5.3. Говорят, что уравнение задает функцию неявно, если существует множество Е, такое что для любого существует по крайней мере одно у, удовлетворяющее уравнению . Одно и то же уравнение может задавать не одну, а несколько функций.

Дифференцируя уравнение по х и учитывая, что у зависит от х, можно найти производную .

20. Логарифмическая производная

Определение 5.4. Пусть дана функция . Логарифмической производной этой функции называется производная от натурального логарифма этой функции. А именно, .

21. Производная сложно-степенной (сложно-показательной) функции

Определение 5.5. Функция вида называется сложно-степенной или сложно-показательной функцией.

Для того чтобы продифференцировать ее, воспользуемся логарифмической производной. Имеем

Так как , то . Следовательно,

(5.11)

Пример. Найдем производную функции у = (sin x)^x .

Решение. Имеем ln у = ln (sin x)^x = х ln sin x,

(ln y)^ = x ln (sin x) + x (ln (sin x)) = ln (sin x) + = ln (sin x) + x ctg x,

тогда у' = (sin x)^x (ln (sin x) + xctg x).