1) Точку , лежащую на этой прямой. Ее можно найти, взяв в уравнениях (3.28), например, и найдя и из системы:

2) направляющий вектор а = (т, п, l) этой прямой. Для нахождения координат направляющего вектора, возьмем, например, а = п п . Вычислив векторное произведение, получим координаты направляющего вектора а = (т, п, l);

3) Осталось подставить найденные значения , m, n и l в канонические уравнения прямой (3.29).

3. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки и .

Воспользуемся каноническими уравнениями прямой (3.29). В качестве направляющего вектора возьмем вектор , а в качестве точки, лежащей на прямой, возьмем любую из точек или . Получим уравнения:

или (3.30)

Эти уравнения эквивалентны и каждое из них определяет прямую, проходящую через точки и .

4. Параметрические уравнения прямой.

Рассмотрим канонические уравнения (3.29) прямой и примем за параметр t каждое из данных отношений: . Получим:

(3.31)

Эти уравнения являются параметрическими уравнениями прямой.

Примеры.

Написать уравнения прямой, проходящей через точку и перпендикулярно плоскости : 2х – 3y + z – 1 = 0.

Решение. Направляющим вектором этой прямой служит нормальный вектор плоскости : п = (2, –3, 1). Воспользуемся каноническими уравнениями (3.29), тогда уравнения искомой прямой примут вид: .

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

1). Пусть в пространстве заданы плоскость  и прямая L:

Условие параллельности прямой L и плоскости  эквивалентно условию перпендикулярности нормали п = (А, В, С) плоскости  и направляющего вектора а = (l, m, n) прямой L и выражается равенством нулю скалярного произведения (2.11) векторов п и а, т.е.