28. Примеры экономико-математических моделей, приводящих к задачам линейного программирования. Стандартная и каноническая формы записи задач линейного программирования.

Построение математической модели любой экономической задачи включает в себя следующие три этапа:

• Выбор переменных

• Составление системы ограничений

• Задание целевой функции

Переменными задачи называются величины x₁,…, x_n , которые характеризуют исследуемый процесс. Их обычно записывают в виде координат точки (вектора) в n-мерном пространстве: x= (x₁,…, x_n).

Системы ограничений- это система неравенств (или уравнений), которыми удовлетворяют переменные задачи и которые следует из ограниченности ресурсов или других экономических или финансовых условий, например, условие неотрицательности переменных и т.п.

Целевой функцией называют функцию от переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи. Общая задача математического программирования формулируется так: найти экстремум целевой функции и соответствующие ему переменные при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений.

Если целевая функция и система ограничений линейны, то задача математического программирования называется задачей линейного программирования (ЛП).

Часто предполагается, что система ограничений содержит уравнения и неравенства вида x₁>=0, …, x_n>=0 , которые называются травиальными, то говорят о канонической форме задаче ЛП, если же в этой системе присутствуют только неравенства, то говорят о стандартной форме задачи ЛП. Любая задача может быть сведена как к канонической, так и к стандартной форме.

16. Пространства решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаметальная система решений однородной системы. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем.

Множество решений однородной линейной системы относительно n неизвестных является линейным подпространством пространства Rn. Размерность этого подпространства равна n − r, где r − ранг матрицы системы A.

Любой базис пространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений однородной системы. Иначе говоря, любая упорядоченная совокупность n − r линейно независимых решений однородной линейной системы образует фундаментальную систему решений однородной системы.

Теорема Кронекера — Капелли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.