11. Определители и их свойства. Вычисление определителей второго и третьего порядка.

Каждой квадратной матрице А по некоторому закону может быть поставлено в соотвествие некоторое число IАI, называемое определителем.

Свойства определителей:

1. общие множитель элементов любой строки можно вынести за знак определителя

2. если все элементы строки i определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых строка i состоит соотвественно из первых или вторых слагаемых, а все остальные строки – те же, что и в определителе.

3. При перестановке любых двух строк определитель умножает на (-1)

4. Величина определителя не изменится, если к одной из строк прибавить другую, умноженную на некоторое число

5. Определитель, содержащий нулевую строки, равен нулю

6. Определитель матрицы А равен нулю тогда и только тогда, когда ее строки линейно зависимы.

7. Определитель произведения двух квадратных матриц одинакового размера равен произведению их определителей: IABI=IAI * IBI

8. При транспонировании матрицы определитель не меняется, те IAtI = IAI для любой квадратной матрицы

Определитель второго порядка:

Определитель третьего порядка:

11. Формула разложения определителя по строкам и столбцам. Система линейных алгебраических уравнений, ее матричная запись.

Формула разложения определителя по строке i:

По столбцу:

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными в линейной алгебре — это система уравнений вида

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:

.

Здесь  — это матрица системы,  — столбец неизвестных, а  — столбец свободных членов. Если к матрице приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

11. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы методом присоединенной матрицы.

Обратная матрица – это матрица А^-1 к матрице А, если выполняется равенство АА^-1 =А^-1 * A = E

где Т означает транспонирование, а А* так называемая присоединенная матрица, матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы А.

11. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем основной матрицы

11. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений

11. Пространство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем.

12. Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

К омплексное число z обозначается символом a+bi, где а и b – дейст.числа, слагаемые а и b называются соотвественно действительной и мнимой частью комплексного числа; символ i, определяемый условием i² = -1, называется мнимой единицей

Алгебраические операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных числе выполняются аналогично операциям с многочленами.

11. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Модуль компл.числа: каждому компл.числу z=a+bi может быть поставлен в соответствие вектро (a,b) принадл R². Длина этого вектора, равная корню а²+b², называется модулем компл.числа z и обозначается через IzI.

Аргумент (arg z) – это угол ф между данным вектором и положительным направлением оси Ох

Тригонометрическая форма записи: z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).

11. Корни n-ой степени из комплексного числа. Формулировка основной теоремы алгебры.

Основная теорема алгебры утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть

Всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.

11. Линейные преобразования пространства Rⁿ . Матрица линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.

Линейное преобразование - отображение f линейного пространства V в себя, если для векторов x,y принадлежат V и для любого л принадлежат R выполняются равенства

11. Квадратичные формы, их матрицы в заданном базисе. Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа.

Квадратичной формой Ф от переменных x₁,x₂,…, x_n называется однородный многочлен второй степени от этих переменных.

Симметричная матрица А, элементами которой являются числа а _ij, называется матрицей квадратичной формы

22. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

Закон инерции квадратичных форм: число р положительных коэффициентов и число q отрицательных коэффициентов в нормальном виде формы ранга r не зависят от способа приведения квадратичной формы к нормальному виду; r=p+q.

Критерий Сильвестра. Квадратичная форма является положительно определенной, когда все угловые миноры ее матрицы положительны. Квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров ее матрицы чередуются. Опр1<0, опр2>0, опр3<0

22. Прямая и гиперплоскость в n-мерном пространстве. Угол между гиперплоскостями. Расстояние от точки до гиперплоскости.

24.Уравнения прямой на плоскости и в пространстве.

Уравнение прямой на плоскости: Ax+By+C=0

Уравнение прямой в пространстве: Ах+By+Cz+D=0

22. Уравнения плоскости в трехмерном пространстве.

22. Кривые второго порядка на плоскости. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения.

Кривой второго порядка на пл. (хоу) называется кривая, заданная уравнением 2-ой степени, те Ах²+Вху+Су²+ Dх+Ey+F=0, А,В,С неравно 0.

31. Понятие о взаимно-двойственных задачах линейного программирования Основные теоремы двойственности. Двойственность в экономико-математических моделях.