3. Угол между гиперплоскостями

Чтобы найти угол между гиперплоскостями, необходимо сначала задать уравнения прямых в этих плоскостях. Далее через скалярное произведение мы сможем найти угол между плоскостями.

Скалярное произведение векторов задается формулой (х҃, у҃)= х₁у₁+ х₂у₂+.. х_nу_n

Опр. Угол между прямыми l₁ и l₂ с направляющими векторами a҃₁ и a҃₂ полагается равным углу между векторами a҃₁ и a҃ и вычисляется по формуле cos φ= (a҃₁, a҃₂ ҃) : |а₁҃||а҃₂| где 0 φ Пи

(Пусть l и m две прямы в пространстве Т с направляющими векторами p҃=(p₁ ,p₂ ,..,p_n) q҃=(q₁ , q₂ ,..,q_n) соответственно. Тогда угол φ между прямыми вычисляется следующим образом:

cos φ= (p₁ q₁+ p₂ q₂+.. +p_n q_n) : √(p₁+ p₂ +.. p_n) √ (q₁ + q₂+ ..q_n)

4. Расстояние от точки до гиперплоскости(+проекция т. на Г)

Опр. Проекцией т. М, принадлежащей прост-ву Т., на Г. называется такая т. Р ϵ Г,что вектор P͞M ортогонален Г.

Теорема. Проекция т. М на Г всегда существует. При этом расстояние(расст) от т. М до ее проекции Р меньше расст. от т. М до любой другой т. Q гиперплоскости.

Док-во. Стр 201

Опр. Расстоянием от т. М до Г назыв. длина вектора M͞P, где Р-проекция т. М на Г.

Пусть в прост-ве Т гиперплоск. задана ур-ем a₁ x₁+a₂ x₂+..+ a_n x _n +b=0

Чтобы найти расст. следует подставить координаты т М. в левую часть этого ур-ия и разделить модуль полученного числа на модуль нормального вектора. Вектор нормали a҃= (a₁ , a₂ ,..,a_n)

M͞P= | a₁ x ⁰₁+a₂ x ⁰₂+..+a_n x ⁰_n+b |:|а҃|

27. Выпуклые множества в пространстве Rn. Полупространства, выпуклые многогранные области. Системы линейных неравенств и их геометрический смысл. Угловые точки выпуклых многогранных областей. Выпуклая оболочка системы точек в Rn . Множество М⊂T называется выпуклом, если вместе с любыми двумя точками А и В, принадлежащих M, оно содержит весь отрезок . Наглядно понятие выпуклого множества можно пояснить так: это множество, которое не имеет «вмятин» и «дыр».

Линейное ограничение- это ограничение вида a₁x₁+…+a_nx_n+b>=0. Линейное ограничение задает либо гиперплоскость (знак «=»), либо полупространство (знаки «<= и >=»). Гиперпространство и полуплоскость являются выпуклыми множествами. Выпуклым множеством является также всякое множество, заданное системой линейных ограничений, поскольку его можно представить как пересечение гиперплоскостей и полупространств, соответствующих линейным ограничениям системы. Полупространством в n-мерном пространстве Т называется множество всех точек Х=(х₁ , х₂ , х_n), координаты которых удовлетворяют заданному неравенству первой степени:

а₁х₁ +а₂х₂ + а_nх_n + b =>0 где a₁…..а_n , b-фиксированные числа, причем a₁…..а_n не все равны нулю.

Пересечение М нескольких полупространств называется выпуклой многогранной областью. То есть выпуклая многогранная область задается с помощью системы из нескольких линейных неравенств. Это и есть геометрический смысл системы линейных неравенств. Точка С выпуклой многогранной области М⊂T называется вершиной, или угловой точкой , области М , если не существует представлений С в виде:

С= sC₁ +(1-s)C₂, где С₁ ∈M C₂ ∈M 0< s<1.

Непосредственно ясно, что для в случае многоугольной плоскости области на плоскости для любой вершины С найдутся две граничные прямые, проходящие через С, для которых С является их единственной общей точкой.

Способ нахождения вершин выпуклой многогранной области: Для нахождения вершин выпуклой многогранной области М⊂ T, заданной конечной системой линейных неравенств с n неизвестными выберем n неравенств и заменим их равенствами. Получим систему n линейных уравнений с n неизвестными. Если она имеет единственное решение точку A, причем A∈M, то А – вершина области М.

Выпуклой оболочкой conv(A₁,…A_k) системы точек A₁,…A_k из n-мерного точечного пространства T называется множество всех выпуклых линейных комбинаций системы этих точек. Выпуклой линейной комбинацией системы точек A₁,…A_k из n-мерного точечного пространства Т называется любая точка А вида А=s₁A₁+…+ s_kA_k , где s₁ >= 0, …, s_k>=0 и s₁+…+ s_k =1.

Выпуклая оболочка точек A₁, A₂,…, A_p является выпуклым множеством и содержится в любом выпуклом множестве, содержащем точки A₁, A₂,…, A_p