1. С помощью обобщённого алгоритма Евклида найти значения х и y в уравнении 21х+12у = ged( 21, 12)

ged( 21, 12)=3→21х+12у=3

21 1 0

12 0 1

9 1 -1 q=1

3 -1 2 q=1

0 4 -7 q=3

21*x+12y=21*(-1) + 12*2=3

2. Организовать электронную подпись сообщения «ШИФР». При р=45 и g=11, базирующиеся на схемеRCA. Использовать обобщенный алгоритм Эвклида

для нахождения секретного ключа.

Сообщение: ШИФР

Числа p и g – 45 и 11

1) Вычислим открытую компоненту ключа: n=p*g=45*11=495

2) Определим функцию Эйлера:f(р g.)=(р-1)(g-1)=(45-1)(11-1)=440;

3) Выберем открытую экспоненту: e=3;

3) Вычислим секретную экспоненту: е * (mod 440)=147;

4) Представим шифруемое сообщение как последовательность чисел в диапазоне от 0 до 32: 25, 9, 21, 17

5) Для представления чисел в двоичном виде требуется 6 двоичных разрядов, так как в русском алфавите используются 33 буквы, поэтому исходный текст имеет вид: 11001, 01001, 10111, 10001

6) Длина блока L определяется как минимальное число из целых чисел, удовлетворяющих условию L  log₂(495+1); L=9 7) Теперь зашифруем сообщение, используя открытый ключ {3,495}: Y1 = (25³) mod 495 = 280

Y2 = (9³) mod 495 = 234

Y3 = (21³) mod 495 = 351 Y4 = (17³) mod 495 = 458

8) Расшифруем полученные данные, используя закрытый ключ {147,495}:

Y1 = (280¹⁴⁷) mod 495 = 25 Y2 = (234¹⁴⁷) mod 495 = 9

Y3 = (351¹⁴⁷) mod 495 = 21 Y4 = (458¹⁴⁷) mod 495 = 17

Данные расшифрованы, сопоставим последовательность <25,9,21,17> с последовательностью букв нашего алфавита. Получили слово ШИФР

3. Вычислить открытые ключи Y_a, Y_b, g и общий ключ Z_ab для системы Дифи-Хелмана с параметрами p=23, X_a=5, X_b=7.

p=2q+1

q=11

выберем число g чтобы оно удовлетворяло условию:

1 и

выберем g=5( удовлетв условию)

Решение

Xa и Xb – секретные числа

Ya=g ^Xa mod p = 5⁵ mod 23=20

Yb=g ^Xb mod p = 5⁷ mod 23=17

Ya Yb – открытые ключи

Zab= Zba – закрытый ключ

Zab= Yb ^Xa mod p = 17 ⁵ mod23=21

Zba= Ya ^Xb mod p = 20 ⁷ mod23=21

4. Используя шифр Эль-Гамаля передать сообщение m=10 от абонента А абоненту Б, P=17, g=3, Cb=10, k=5

p=17 g=3 Cb=10 k=5 m=10Решение:А и В выбирают p и g. В: генерирует секретный и открытый ключи, Св закрытый ключ, находим открытый ключ dв.Dв=g^Cbmod p =3¹⁰mod17=8.В передает свой открытый ключ dв .Далее А выбирает число К=10 .Вычисляет числа.r=g^kmod p = 3⁵mod 17 = 5.e=m*dв^K mod p =10*8 ⁵ mod 17=5.А передает В пару чисел (r, e) = (5,5).В получив (r, e) = (5, 5) вычисляет .m'= e*r^p-1-Cвmod p= 5*5^17-1-10 mod 17= 5*5⁶mod 17=10.Сообщение передано

5. Зашифруйте и расшифруйте сообщение «Защита» по алгоритму RSA, при p=7, g=11.Используйте обобщённый алгоритм Эвклида для нахождения секретного ключа.

Сообщение: Защита

Числа p и g – 7 и 11

1) Вычислим открытую компоненту ключа: n=p*g=7*11=77

2) Определим функцию Эйлера:f(р g.)=(р-1)(g-1)=(7-1)(11-1)=60;

3) Выберем открытую экспоненту: e=7;

3) Вычислим секретную экспоненту: е * (mod 60)=43;

4) Представим шифруемое сообщение как последовательность чисел в диапазоне от 0 до 32: 8 1 26 9 20 1

5) Для представления чисел в двоичном виде требуется 6 двоичных разрядов, так как в русском алфавите используются 33 буквы, поэтому исходный текст имеет вид: 1000 0001 11010 1001 10100 0001

6) Длина блока L определяется как минимальное число из целых чисел, удовлетворяющих условию L  log₂(77+1); L=7 7) Теперь зашифруем сообщение, используя открытый ключ {7,77}: Y1 = (8⁷) mod 77 = 57

Y2 = (1⁷) mod 77 = 1

Y3 = (26⁷) mod 77 = 5 Y4 = (9⁷) mod 77 = 37

Y5 = (20⁷) mod 77 = 48

Y6 = (1⁷) mod 77 = 1

8) Расшифруем полученные данные, используя закрытый ключ {43,77}:

Y1 = (57⁴³) mod 77 = 8 Y2 = (1⁴³) mod 77 = 1

Y3 = (5⁴³) mod 77 = 26 Y4 = (37⁴³) mod 77 = 9

Y5 = (48⁴³) mod 77 = 20

Y6 = (1⁴³) mod 77 = 1 Данные расшифрованы

6. Организовать электронную подпись сообщения «СИСТЕМА», при p=5 и g=13, базирующуюся на схеме RCA .Использовать обобщенный алгоритм Эвклида для нахождения секретного ключа.

Решение.{СИСТЕМА}={18, 9, 18, 19, 6, 13, 1}

n=p*q=65

f(p,q)=(p-1)(q-1)=48

Выберем е=5

d находим из условия

e*d mod f(p,q) = 1

5*d mod 48 = 1

d=29 Проверка: 5*29 mod 48= 1

(5, 65) – открытый ключ

Зашифруем сообщение открытым ключом (5, 65)

18 ⁵ mod 65 = 18

9 ⁵ mod 65 = 29

18 ⁵ mod 65 = 18

19 ⁵mod 65 = 54

6 ⁵mod 65 = 41

13 ⁵mod 65 = 13

1 ⁵mod 65 = 1

зашифрованное сообщение{18; 29; 18; 54; 41; 13; 1}

Расшифруем сообщение с помощью закрытого ключа{29; 65}

18 ²⁹ mod 65 = 18

29 ²⁹ mod 65 = 9

18 ²⁹mod 65 = 18

54 ²⁹ mod 65 = 19

41 ²⁹mod 65 = 6

13 ²⁹ mod 65 = 13

1 ²⁹ mod 65 = 1

мы получили сообщение.

7. Вычислить g, секретные ключи Ya. Yb и общий ключ Zab для системы Диффи-Хеллмана с параметрами : p=17, Xa=10, Xb=5

Xa = 10 Xb = 5

p= 17=4*4+1 (q=4). Выбираем параметр g.

Попробуем взять g = 7. Проверим: 7⁴ mod 17=4.

p = 17 g = 7.

Ya=g^Xa mod p = 7¹⁰ mod 17 = 2

Yb=g^Xb mod p = 7⁵ mod 17 = 11

Zab=(Yb)^Xa mod p = 11¹⁰ mod 17 = 15 Секретный ключ для 1 абонента

Zba=(Ya)^Xb mod p = 2⁵ mod 17 = 15 Секретный ключ для 2 абонента

Если 2 ключа одинаковы значит все правильно

8. Для абонентов А и B организовать секретный сеанс связи, используя систему Шамира, p=19, m=13.

Для абонентов А и B организовать секретный сеанс связи, используя систему Шамира, p=19, m=13.

Пусть есть два абонента А и В, соединенные линией связи. А хочет передать сообщение m абоненту B так, чтобы никто не узнал его содержание. А выбирает случай­ное большое простое число р и открыто передает его В. Затем А выбирает два числа с_{А и} d_A , такие, что

с_Аd_A mod (р - 1) = 1.

Эти числа А держит в секрете и передавать не будет. В тоже вы­бирает два числа с_в d_в, такие, что

с_вd_в mod (p - 1) = 1,

и держит их в секрете.

Пусть А хочет передать В сообщение m =13. А выбирает р = 19, с_А = 5 и вычисляет d_A = 11. Так как с_Аd_A mod (р - 1) = 1. Проверяем: 5*11 mod 18 = 1. Аналогично, В выбирает параметры c_B = 5 и d_B = 29. Так как с_вd_в mod (p - 1) = 1. Проверяем: 5*29 mod 18 = 1. Переходим к протоколу Шамира.

Шаг 1. x₁ = m^Са mod p = 13⁵ mod 19 = 14

Шаг 2. х₂ = х₁^Cв mod p =14⁵ mod 19 = 10

ШагЗ. x₃= х₂^Da mod p = 10¹¹ mod 19 = 14

Шаг 4. х₄ = x₃^Db mod p = 14²⁹ mod 19 = 13.

Таким образом, В получил передаваемое сообщение m = 13.

9. Для абонентов А и B организовать секретный сеанс связи, используя систему Шамира, p=23, m=6.

Ca=7

22 - 0

7 - 1

1 - -3 q=3

0 - 22 q=7

da = 22- 3 = 19

19*7 mod (23-1) = 133 mod 22=1

Cb=9

22 - 0

9 - 1

4 - - 2 q = 2

1 - 5 q = 2

0 - -22 q = 4

db= 5

9*5 mod (23-1) = 45 mod 22 = 1

Передача сигнала от абонента А к абоненту B.

1) X1=6⁷mod23=3

2) X2=3⁹ mod 23 =18

3) X3=18¹⁹ mod 23 = 16

4) X4=16⁵ mod 23 =6

Исходное сообщение m=6 получено абонентом В.

11. Для абонентов A и B организовать секретный сеанс связи. Используя систему Шамира, p=17, m=9

Произведем проверку, правильно ли мы вычислили Da. Для того проверим верность следующего уравнения:

Сa*Da mod (p-1) = 1

3*11 Mod 16 = 1

Cb*Db mod (p-1) = 1

5*13 mod 16 = 1

Теперь опишем по шагам передачу информации посредством шифра Шамира. Передача сигнала от абонента А к абоненту B.

1)Шаг первый. А вычисляет число:

Х1=mСamodp, где m — исходное сообщение, и пересылает X1 к В.

X1=Max mod p= 9⁵ mod 17= 8

2) Шаг второй. В, получив х1, вычисляет число: X2 = X1Cb mod p и передает х2 к А.

X2=8³ mod 17 =2

3) Шаг третий. А вычисляет число: X3 = X2Da mod p и передает его В.

X3=2¹³ mod 17 = 15

4) Шаг четвертый. В, получив х3, вычисляет число: X4 = X3Db mod p.

X4=15¹¹ mod 17 =9

Исходное сообщение m=9 получено абонентом В.

12. Задача. Организовать электронную подпись сообщения «КИНО», при р=5, g=13, Da=3 базирующуюся на схеме RCA. Используйте обощенный алгоритм Эвклида для нахождения секретного ключа.

Организовать электронную подпись сообщения «КИНО», при р=5, g=13, Da=3 базирующуюся на схеме RCA. Используйте обобщенный алгоритм Эвклида для нахождения секретного ключа.

Решение.

{КИНО}={11, 9, 14, 15}

n=p*q=65

f(p,q)=(p-1)(q-1)=48

Выберем е=5

d находим из условия

e*d mod f(p,q) = 1

5*d mod 48 = 1

d=29 Проверка: 5*29 mod 48= 1

(5, 65) – открытый ключ

Зашифруем сообщение открытым ключом (5, 65)

11 ⁵ mod 65 = 46

9 ⁵ mod 65 = 29

14 ⁵ mod 65 = 14

15 ⁵mod 65 = 45

зашифрованное сообщение

{46; 29; 14; 45}

Расшифруем сообщение с помощью закрытого ключа

{29; 65}

46 ²⁹ mod 65 = 11

29 ²⁹ mod 65 = 9

14 ²⁹mod 65 = 14

45 ²⁹ mod 65 = 15

мы получили сообщение.

13. Используя шифр Эмаль-Гамаля передать сообщение м=15 от абонента А абоненту В, р=23, G=7

Используя шифр Эмаль-Гамаля передать сообщение m=15 от абонента А абоненту В, р=23, G=7

Передадим сообщение m = 15 от А к В. Возьмем р = 23, g = 7. Пусть абонент В выбрал для себя секретное число с_в = 9 и вычислил:

d_B =g^Cbmod p =7⁹ mod 23 =15.

Абонент А выбирает случайно число k, например k = 5, и вычисляет:

г = g^k mod p = 7⁵ mod 23 =17

е = m d_B^k mod p = 15 15⁵ mod 23 = 13.

Теперь A посылает к В зашифрованное сообщение в виде пары чисел (r, е).

В, получив (r,е), вычисляет

m' = е r^p-1-c_Bmod р = 13 17^23-1-9 mod 23= 15.

Мы видим, что В смог расшифровать переданное сообщение

14. Для абонентов А и В организовать секретный сеанс связи, используя систему Шамира, р=19, Са=11, Сb=5, m=10.

Применим алгоритм Евклида для нахождения Da, Db

18	0
11	1
7	-1	Q=1
4	2	Q=1
3	-3	Q=1
1	5	Q=1
0	-18	Q=3

18	0
5	1
3	-3	Q=3
2	4	Q=1
1	-7	Q=1
0	18	Q=2

Db=18-7=11

Da=5

Шаг 1. А вычисляет число х₁ и отправляет его к В

х₁=m^Camod p=10¹¹mod 19=14

Шаг 2. В, получив число х₁, вычисляет х₂ и передаёт к А

x₂=x₁^Cb mod p=14⁵mod19=10

Шаг 3. А вычисляет число х₃ и передаёт его к В

x₃=x₂^Da mod p=10⁵ mod 19= 3

Шаг 4. В, получив х₃, вычисляет сообщение

x₄=x₃^Db mod p = 3¹¹ mod 19 = 10

15. Зашифровать и расшифровать сообщение СВЯЗЬ по алгоритму RSA,при p=3, g=11.

20	0
17	1
3	-1	1
2	6	5
1	-7	1
0	20	2

D=13

С	В	Я	З	Ь
18	3	32	8	29

Зашифровка:

Расшифровка:

16. Вычислить g, секретные ключи Ya, Yb, и общий ключ Zab для системы Диффи-Хеллмана с параметрами: р=19, Ха=5, Хb= 5.

1<g<p-1, выберем g=13, p=2q+1=>q=9

Y_A = g^Xa mod р=13⁵ mod19=14

Y_B = g^Xb mod р=13⁵ mod19=14, Y_A= Y_B

Z_AB = (Y_B)^XA mod p=14⁵ mod19=10

17. Зашифровать и расшифровать слово ШИФР по алгоритму RSA, при p=5, g=11

40	0
7	1
5	-5	5
2	6	1
1	-17	2
0	40	2

D=23

Ш	И	Ф	Р
25	9	21	17

Зашифровка:

Расшифровка: