3. Решение матричной игры в чистых стратегиях на основе гарантированного выигрыша и гарантированного проигрыша

Стратегии, которые выбирают игроки в отдельной матричной игре, называются чистыми стратегиями. Поэтому решение матричной игры называется в чистых стратегиях.

В качестве показателя, относительно которого определяется эффективность выбора стратегий игроками определим гарантированный выигрыш игрока А и гарантированный проигрыш игрока В.

Определение. В матричной игре гарантированным выигрышем для стратегии игрока А называется максимальный выигрыш , который он может получить, выбрав стратегию , вне зависимости от игры игрока В.

Индекс в значении выигрыша поясняет, что максимальный выигрыш рассматривается для игрока А

Гарантированный выигрыш для данной стратегии игрока А меньше либо равен выигрышу игрока А при заданной его стратегии и любой стратегии игрока В: , = 1, 2, … , . Значит, гарантированный выигрыш для стратегии равен наименьшему выигрышу игрока А, при выборе игроком В своих стратегий: = .

Определение. В матричной игре гарантированным проигрышем для стратегии игрока В называется минимальный проигрыш , который он может получить вне зависимости от игры игрока А.

Гарантированный проигрыш для стратегии больше либо равен проигрышу при этой стратегии и любой стратегии игрока А: , = 1, 2, … , . Гарантированный проигрыш равен наибольшему проигрышу игрока В, при выборе игроком А своих стратегий: = .

Индекс в значении проигрыша , поясняет, что он определяется для игрока В.

Гарантированный выигрыш и гарантированный проигрыш можно рассматривать как показатели неслучайности матричной игры, определяют потенциалы игроков в игре.

В качестве оптимальной стратегии игрок А выбирает стратегию , при которой гарантированный выигрыш будет наибольшим: = . Максимальное значение для всех стратегий игрока А гарантированного выигрыша называется нижней ценой игры = .

Игрок В в качестве оптимальной стратегии выбирает стратегию , при которой из всех его стратегий гарантированный проигрыш будет наименьшим: = .

Максимальное значение для всех стратегий игрока А гарантированного выигрыша называется нижней ценой игры = , а минимальное значение гарантированных проигрышей игрока В для всех его стратегий – верхней ценой игры = .

Оптимальные стратегии в матричной игре выбираются на основе, так называемых, принципов максимина и минимакса, а сами выбранные стратегии называются максиминной для игрока А и минимаксной для игрока В.

Заметим, что нижняя и верхняя цена игры удовлетворяют условию .

Пример 1. Задана платёжная матрица = . Определить оптимальные стратегии игрока А и игрока В, а также нижнюю и верхнюю цены игры.

Решение. Платёжную матрицу представим таблицей, в которой в последнем столбце определим гарантированные выигрыши игрока А как минимальные значения выигрышей в строках, а в последней строке определим гарантированные проигрыши игрока В как максимальные значения проигрышей в столбцах (табл. 1).

Таблица 1

Расчёт оптимальных стратегий выбора игроков а и в

	В1	В2	В3	В4	Гарантированный выигрыш
А1	17	20	13	23	13
А2	22	14	19	12	12
А3	12	24	16	14	12
А4	21	10	20	11	10
А5	15	18	17	21	15
Гарантированный проигрыш	22	24	20	23

Оптимальной стратегией будет стратегия А₅ с наибольшим гарантированным выигрышем равным15. А оптимальной стратегией игрока В будет стратегия В₃ с наименьшим гарантированным проигрышем равным 20. При этом выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) при выборе их оптимальных стратегий составит =17.

Ответ: = ; = ; =15; = 20.

Если нижняя и верхняя цена игры равны, то в матричной игре есть седловая точка , для которой = = . В этом случае = называется ценой игры.