3.2. Расчетные соотношения для анализа азимутально-угломестных опорно-поворотных устройств

Требования к ОПУ определяются, главным образом, угловыми скоростями и ускорениями ИСЗ относительно точки наблюдения (станции сопряжения). Направление на ИСЗ в топоцентрической полярной системе координат задается двумя углами: азимутом  и углом места . При движении ИСЗ по орбите азимут  и угол места  изменяются во времени по вполне определенному закону, зависящему от параметров орбиты ИСЗ.

Н а рисунке 2 показан видимый (геометрически) из пункта наблюдения на поверхности Земли (точка А) участок орбиты B₁SB₂.

Рис. 2. К определению текущих угловых координат ИСЗ

Ось OY₀ геоцентрической орбитальной системы координат, для удобства, ориентирована в точку S, соответствующую максимальному углу места для заданной траектории (параметру P). Ось OX₀ перпендикулярна оси OY₀. Ось OF, являющаяся вспомогательной, лежит в плоскости местного горизонта. Линия B₁B₂ является линией пересечения плоскости орбиты с плоскостью местного горизонта. Угол места  отсчитывается от плоскости местного горизонта до линии визирования ИСЗ. Азимут , для удобства, отсчитывается от оси OF до проекции линии визирования ИСЗ на плоскость местного горизонта. При такой системе отсчета азимута угол места равен параметру орбиты P при  = 0 .

Зависимости азимута  и угола места  от времени при заданных высоте орбиты h и параметре P определяются выражениями 2:

₍₁₎

₍₂₎

где r = R_З + h; Rз = 6378 км. – радиус Земли; h – высота орбиты;  – угловая скорость движения ИСЗ;  – угол между плоскостью орбиты ИСЗ и направлением из центра Земли на пункт наблюдения.

Формулы (1) и (2) получены при следующих допущениях:

– движение ИСЗ осуществляется по круговой орбите высотой h;

– вращение Земли не учитывается.Для орбит типа LEO (высота 7001500 км) время наблюдения ИСЗ составляет десятки минут 3, что намного меньше периода обращения Земли. Поэтому учет вращения Земли мало влияет на изменение значений угловых координат и угловых скоростей.

Уточним входящие в выражения (1) и (2) параметры  и . Угол  определяется выражением:

₍₃₎

Если положить P = _min, то угол  равен центральному углу (угловому размеру) зоны радиовидимости  2.

Угловая скорость движения ИСЗ по орбите  определяется периодом обращения T:  = 2 /T. Для круговой орбиты период обращения можно найти по следующей упрощенной формуле 4:

(4)

С использованием полученных выражений можно проследить изменение  и  от времени при движении ИСЗ по круговой орбите с заданными параметрами h и P.

Время t изменяется от t₁ до t₂, которые соответствуют моментам выхода ИСЗ из-за горизонта и захода за горизонт. Значения t₁ и t₂ находятся из выражений

₍₅₎

Требования к ОПУ, т.е. требования к скоростям вращения антенны по азимуту и углу места, можно сформулировать проанализировав скорости изменения соответствующих координат ИСЗ.

Скорость изменения азимутальной координаты – угловая скорость движения ИСЗ по азимуту относительно пункта наблюдения _α – находится дифференцированием выражения (1) по времени, т.е. d/dt = _α. Модуль нормированной к угловой скорости ИСЗ скорости изменения азимутальной координаты определяется выражением:

₍₆₎

Рассмотрим некоторые предельные случаи.

Если  = 0, то максимальный угол места _max = P = 90°, т.е. ИСЗ проходит через зенит (например, по меридиану, проходящему через пункт наблюдения). Для всех точек траектории, когда t  90°, |_α/| = 0, поскольку sin  = 0, а знаменатель (1 – sin²t cos²)  0. В точке t = 90° и числитель, и знаменатель обращаются в ноль. Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получаем

₍₇₎

Физически это означает, что в случае  = 0 (ИСЗ проходит через зенит) изменяется только угломестная координата, а азимутальная остается постоянной, т.е. |_α/ | = 0. В зените скорость ИСЗ по азимуту возрастает до бесконечности, а затем снова |_α/ | = 0. Это означает, что при сопровождении ИСЗ требуется переброс антенны на 180° за бесконечно малое время. Поскольку скорость движения антенны по координатам всегда ограничена, возникает ошибка сопровождения ИСЗ. Зависимость азимутальной скорости от времени можно представить графиком в виде дельта-функции в точке t = 90°.

Если   0 (ИСЗ через зенит не проходит), а t = 90° скорость по азимуту равна

₍₈₎

При этих условиях выражение (8) соответствует максимальной скорости по азимуту при заданном . Расстоянии ИСЗ от пункта наблюдения при этом минимально.

Скорость изменения угломестной координаты – угловая скорость движения ИСЗ по углу места относительно пункта наблюдения _β – находится дифференцированием по времени выражения (2), т.е. d/dt = _β. Нормированная к  скорость по углу места равна

(9)

где

Если  = 0 (ИСЗ проходит через зенит), а t  90°, то

(10)

При  = 0 и t = 90° угломестная скорость равна

(11)

При этих условиях скорость по углу места максимальна, а расстояние между ИСЗ и пунктом наблюдения минимально.

Если   0, а t = 90°, то _β = 0, что соответствует достижению ИСЗ максимального угла места, после чего угломестная скорость меняет знак.

Приведенные соотношения позволяют рассчитать законы изменения угловых координат ИСЗ в процессе движения его по орбите, оценить максимальные значения угловых скоростей и, тем самым, сформулировать требования к характеристикам привода ОПУ.