26. Составление канонических уравнений прямой в пространстве.

Итак, канонические уравнения прямой в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyzв трехмерном пространстве вида   соответствуют прямой линии, которая проходит через точку  , а направляющим вектором этой прямой является вектор  . Таким образом, если нам известен вид канонических уравнений прямой в пространстве, то мы можем сразу записать координаты направляющего вектора этой прямой, а если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты некоторой точки этой прямой, то мы сразу можем записать ее канонические уравнения.

Итак, параметрические уравнения прямой вида   в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве соответствуют прямой, проходящей через точку  , и имеющей направляющий вектор  . Таким образом, по известным параметрическим уравнениям прямой мы можем сразу записать координаты направляющего вектора прямой, а по известным координатам направляющего вектора прямой и координатам некоторой точки прямой мы можем сразу составить параметрические уравнения этой прямой в пряомугольной системе координат в трехмерном пространстве.

28.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами   и  . Так как  , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов   и  :

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l₁ параллельна l₂ тогда и только тогда, когда   параллелен  .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю:  .

29. Формула для вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если s = {m; n; p} - направляющий вектор прямой l, M₁(x₁, y₁, z₁) - точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M₀(x₀, y₀, z₀) до прямой l можно найти, используя формулу

d =	|M0M1×s|
	|s|

Математический анализ

31.

Занумерованный ряд чисел a1, a2, a3, …, an, … называется числовой последовательностью.

На множестве всех последовательностей элементов множества   можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве  . Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.

Пусть на множестве   определена  -арная операция  : Тогда для элементов  ,  , …,   множества всех последовательностей элементов множества   операция   будет определяться следующим образом:

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей   и   называется числовая последовательность   такая, что  .

Разностью числовых последовательностей   и   называется числовая последовательность   такая, что  .

Произведением числовых последовательностей   и   называется числовая последовательность   такая, что  .

Частным числовой последовательности   и числовой последовательности  , все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность  . Если в последовательности   на позиции   всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность  .

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестностикоторого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

• Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.

• Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.