Свойства[править | править вики-текст]

• Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой ортонормированный.

• Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования   является равенство

где   — сопряжённое, а   — обратное преобразования.

• В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы   является равенство (*), где   — транспонированная, а   — обратная матрицы.

• Собственные значения ортогональных преобразований равны   или  , а собственные векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

• Определитель ортогонального преобразования равен   (собственное ортогональное преобразование) или   (несобственное ортогональное преобразование).

• В произвольном  -мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.

• Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразования образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу).

Уравнение линии на плоскости — это уравнение, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

20. В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение вида

 (1)

называется общим уравнением прямой.

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.     (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     (9)

 Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.     (12)

6. Координаты точки пересечения двух прямых находят, решая систему уравнений (6). Прямые (6) пересекаются в том и только в том случае, когда

21. Из определения скалярного произведения   и из выражения в координатах длин векторов   и   и их скалярного произведения получим

Получаем следующую формулу для определения угла между прямыми:

. 

Расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле

Площадь треугольника:

22. Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой  ), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка   даётся как  . В терминах прямоугольной системы координат:

•  — расстояние от   до  , ортогональной проекции точки   на плоскость  . Или то же самое, что расстояние от   до оси  .

•  — угол между осью   и отрезком  .

•  равна аппликате точки  .

При использовании в физических науках и технике международный стандарт ISO 31-11 рекомендует использовать обозначения  .

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось   взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр в прямоугольных координатах имеет уравнение  , а в цилиндрических — очень простое уравнение  . Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:

Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:

• Если заданы сферические координаты точки, то переход к декартовым осуществляется по формулам:

• Обратно, от декартовых к сферическим:

• Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

• Обратно от цилиндрических к сферическим:

23. Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

• Общее уравнение (полное) плоскости

где   и   — постоянные, причём   и   одновременно не равны нулю; в векторной форме:

где   — радиус-вектор точки  , вектор   перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора  :

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При   плоскость проходит через начало координат, при   (или  ,  ) П. параллельна оси   (соответственно   или  ). При   ( , или  ) плоскость параллельна плоскости   (соответственно   или  ).

• Уравнение плоскости в отрезках:

где  ,  ,   — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях   и  .

• Уравнение плоскости, проходящей через точку   перпендикулярно вектору нормали  :

в векторной форме:

• Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки  , не лежащие на одной прямой:

(смешанное произведение векторов), иначе

• Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

в векторной форме:

где  - единичный вектор,   — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

Пове́рхность в геометрии и топологии — двумерное топологическое многообразие. Наиболее известными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, существуют поверхности (например, бутылка Клейна), которые нельзя вложить в трёхмерное евклидово пространство без привлечения сингулярности или самопересечения.

24. Плоскость, проходящая через точку P(x₁, y₁, z₁) и параллельная двум неколлинеарным векторамu(a₁, b₁, c₁) и v(a₂, b₂, c₂), определяется уравнением

Уравнение плоскости по трем точкам 

где точки A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) лежат в данной плоскости.

Параметрическое уравнение плоскости 

где (x, y, z) − координаты произвольной точки плоскости, точка P(x₁, y₁, z₁) лежит в этой плоскости, и векторы u(a₁, b₁, c₁), v(a₂, b₂, c₂) параллельны ей.

25. Двугранный угол между плоскостями  Пусть две плоскости заданы уравнениями  A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0,  A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.  Тогда двугранный угол между ними выражается формулой

1. Параллельные плоскости  Две плоскости A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 параллельны, если 

1. Перпендикулярные плоскости  Две плоскости A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 перпендикулярны, если  A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

2. Расстояние от точки до плоскости  Расстояние от точки P₁(x₁, y₁, z₁) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 определяется формулой

3.