Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

a × b =	i	j	k	= i(aybz - azby) - j(axbz - azbx) + k(axby - aybx)
	ax	ay	az
	bx	by	bz

a × b = {a_yb_z - a_zb_y; a_zb_x - a_xb_z; a_xb_y - a_yb_x}

Свойства векторного произведения векторов

• Геометрический смысл векторного произведения.

 Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:

S_парал = a × b]

• Геометрический смысл векторного произведения.

 Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

SΔ =	1	|a × b|
	2

• Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.

• Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.

• a × b = -b × a

• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)

• (a + b) × c = a × c + b × c

Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.

Смешанное произведение векторов a = {a_x; a_y; a_z}, b = {b_x; b_y; b_z} и c = {c_x; c_y; c_z} в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:

a · [b × c] =	ax	ay	az
	bx	by	bz
	cx	cy	cz

Свойства смешанного произведения векторов

• Геометрический смысл смешанного произведения.

 Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:

V_парал = a · [b × c]

• Геометрический смысл смешанного произведения.

 Объем пирамиды образованной тремя векторами a, b и с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов:

Vпир =	1	|a · [b × c]|
	6

• Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные.

• a · [b × c] = b · (a · c) - c · (a · b)

• a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]

• a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 - тождество Якоби.

18. Определение. Система векторов x₁, x₂, … , x_n  X называется линейно зависимой, если существуют числа α₁, α₂, … , α_n  R , не все равные нулю (т.е. α₁² + α₂² + … + α_n² ≠ 0 ), такие, что

α₁x₁ + α₂x₂ + … + α_nx_n = θ.

Если это равенство выполняется только при α₁ = α₂ = … = α_n = 0 , то система векторов называется линейно независимой.

1. Любая система векторов e₁,e₂, ..., e_k линейного пространства, содержащая нулевой вектор, линейн зависима.

2. Любая система векторов e₁,e₂, ..., e_k линейного пространства, содержащая пару взаимно противоположных векторов, линейн зависима.

3. Любая подсистема векторов линейно независимой системы векторов линейного пространства линейно независима.

4. Любая система векторов линейного пространства, содержащая линейно зависимую подсистему векторов, линейно зависима.

5. Система векторов линейного пространства линейно зависма тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов системы линейно выражается через остальные векторы системы (представлен в виде разложения по векторам системы).

6. Система векторов линейного пространства линейно независма любая её подсистемы векторов.

6. Система векторов, состоящая из одного ненулевого вектора линейного прострранства, линейно независима.

Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любойприроды (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умноженияэлементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А

1) х + у = у + х (перестановочность сложения);

         2) (х + у) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

         3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любоговектора x;

         4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0,

         5) 1 · х = х,

         6) α(βx) = (αβ) х (ассоциативность умножения);

         7) (α + β) х = αх + βх (распределительное свойство относительно числового множителя);

         8) α(х + у) = αх + αу (распределительное свойство относительно векторного множителя).

Определение 1. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.

.

            Определение 2. Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.

Тройка векторов →e1, →e2, →e3 называется базисом в трехмерном пространстве геометрических векторов V3, если любой вектор →x О V3 может быть единственным образом представлен в виде

→x = α · →a + β · →b + γ · →c, где α, β, γ — некоторые числа, называемые координатами вектора →x в базисе

→e1, →e2, →e3.

Справедливы следующие утверждения:

В трехмерном пространстве V3 любая тройка некомпланарных векторов образует базис.

В двумерном пространстве V2 любая пара неколлинеарных векторов образует базис.

Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.

Базис   евклидова пространства называется ортогональным, если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

 при 

Базис   евклидова пространства называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

19.

     (2)

 

Начнем с постановки задачи на плоскости.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы координаты двух несовпадающих точек   и  . Нам требуется найти координаты   и   точки С, которая делит отрезок АВ в отношении  , где   - некоторое положительное действительное число.

Поясним смысл фразы: «точка С делит отрезок АВ в отношении  ». Это выражение означает, что точка С лежит на отрезке АВ (является внутренней точкой отрезка АВ) и отношение длин отрезков АС и СВ равно   (то есть, выполняется равенство  ). Обратите внимание, что в этом случае точка А является как бы началом отрезка, а точка В – его концом. Если же сказано, что точка С делит отрезок ВА (а не АВ) в отношении  , то будет выполняться равенство  . Очевидно, что при   точка С является серединой отрезка АВ.

Поставленная задача может быть решена с помощью векторов.

Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат некоторый отрезок АВ, точку С на нем и построим радиус-векторы точек А, В и С, а также векторы   и  . Будем считать, что точка С делит отрезок АВ в отношении  .

Мы знаем, что координаты радиус-вектора точки равны соответствующим координатам этой точки, поэтому,   и  . Найдем координаты вектора  , которые будут равны искомым координатам точки С, делящей отрезок АВ в заданном отношении  .

В силу операции сложения векторов можно записать равенства   и  . Их мы используем в следующем абзаце.

Так как точка С делит отрезок АВ в соотношении  , то  , откуда  . Векторы   и   лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление, а выше мы отметили, что  , поэтому, по определению операции умножения вектора на числосправедливо равенство  . Подставив в него  , имеем  . Тогда равенство   можно переписать как  , откуда в силу свойств операций над векторами получаем  .

Осталось вычислить координаты вектора  , выполнив необходимыеоперации над векторами   и   в координатах. Так как   и  , то , следовательно,  .

Таким образом, на плоскости координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении  , находятся по формулам   и  .

Аффи́нное преобразование   есть преобразование вида

где   — обратимая матрица (неособенный аффинор) и  .

• При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.

  • Если размерность пространства  ^{[источник не указан 855 дней]}, то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется ваксиоматическом построении аффинной геометрии

• Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.

• Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

ортогональное преобразование — линейное преобразование   евклидова пространства  , сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов   выполняется равенство

где треугольными скобками обозначено скалярное произведение   в пространстве  .